Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6719 / 1983
↖ ↑ ↗
← N 79.436400°
W 32.365723°		 ← 447.92 m → N 79.436400°
W 32.343750°		 →
↑
448.01 m
↓
↑
448.01 m
↓
N 79.432371°
W 32.365723°		 ← 448.09 m →
200 709 m²		 N 79.432371°
W 32.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410125732421875 y=0.121063232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410125732421875 × 214)
    floor (0.410125732421875 × 16384)
    floor (6719.5)     		tx = 6719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121063232421875 × 214)
    floor (0.121063232421875 × 16384)
    floor (1983.5)     		ty = 1983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6719 / 1983 ti = "14/6719/1983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6719/1983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6719 ÷ 214
    6719 ÷ 16384     		x = 0.41009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1983 ÷ 214
    1983 ÷ 16384     		y = 0.12103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41009521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1798095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56488843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12103271484375 × 2 - 1) × π
    0.7579345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38112167792743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56488843} λ = -0.56488843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38112167792743))-π/2
    2×atan(10.8170292846796)-π/2
    2×1.47861152370933-π/2
    2.95722304741866-1.57079632675     		φ = 1.38642672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56488843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.365723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38642672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.436400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6719 KachelY 1983 -0.56488843 1.38642672 -32.365723 79.436400
    Oben rechts KachelX + 1 6720 KachelY 1983 -0.56450493 1.38642672 -32.343750 79.436400
    Unten links KachelX 6719 KachelY + 1 1984 -0.56488843 1.38635640 -32.365723 79.432371
    Unten rechts KachelX + 1 6720 KachelY + 1 1984 -0.56450493 1.38635640 -32.343750 79.432371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38642672-1.38635640) × R
    7.03200000000681e-05 × 6371000     		dl = 448.008720000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38642672-1.38635640) × R
    7.03200000000681e-05 × 6371000     		dr = 448.008720000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56488843--0.56450493) × cos(1.38642672) × R
    0.000383499999999981 × 0.183326860685865 × 6371000     		do = 447.918577186246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56488843--0.56450493) × cos(1.38635640) × R
    0.000383499999999981 × 0.183395988450163 × 6371000     		du = 448.087475566509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38642672)-sin(1.38635640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183326860685865-0.183395988450163)×R²
    abs(-0.56450493--0.56488843)×6.91277642980437e-05×R²
    0.000383499999999981×6.91277642980437e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.91277642980437e-05×40589641000000     		ar = 200709.262486033m²