Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6718 / 6282
↖ ↑ ↗
← S 68.815927°
E115.224609°		 ← 1 765.81 m → S 68.815927°
E115.268555°		 →
↑
1 765.15 m
↓
↑
1 765.15 m
↓
S 68.831802°
E115.224609°		 ← 1 764.55 m →
3 115 803 m²		 S 68.831802°
E115.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82012939453125 y=0.76690673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82012939453125 × 213)
    floor (0.82012939453125 × 8192)
    floor (6718.5)     		tx = 6718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76690673828125 × 213)
    floor (0.76690673828125 × 8192)
    floor (6282.5)     		ty = 6282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6718 / 6282 ti = "13/6718/6282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6718/6282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6718 ÷ 213
    6718 ÷ 8192     		x = 0.820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6282 ÷ 213
    6282 ÷ 8192     		y = 0.766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820068359375 × 2 - 1) × π
    0.64013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01104881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.53369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67664100111108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01104881} λ = 2.01104881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67664100111108))-π/2
    2×atan(0.187001058613076)-π/2
    2×0.184865910261283-π/2
    0.369731820522567-1.57079632675     		φ = -1.20106451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01104881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.224609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20106451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.815927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6718 KachelY 6282 2.01104881 -1.20106451 115.224609 -68.815927
    Oben rechts KachelX + 1 6719 KachelY 6282 2.01181580 -1.20106451 115.268555 -68.815927
    Unten links KachelX 6718 KachelY + 1 6283 2.01104881 -1.20134157 115.224609 -68.831802
    Unten rechts KachelX + 1 6719 KachelY + 1 6283 2.01181580 -1.20134157 115.268555 -68.831802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20106451--1.20134157) × R
    0.000277060000000162 × 6371000     		dl = 1765.14926000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20106451--1.20134157) × R
    0.000277060000000162 × 6371000     		dr = 1765.14926000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01104881-2.01181580) × cos(-1.20106451) × R
    0.000766989999999801 × 0.361365384428115 × 6371000     		do = 1765.80952624579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01104881-2.01181580) × cos(-1.20134157) × R
    0.000766989999999801 × 0.361107033087674 × 6371000     		du = 1764.54709415427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20106451)-sin(-1.20134157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361365384428115-0.361107033087674)×R²
    abs(2.01181580-2.01104881)×0.000258351340441054×R²
    0.000766989999999801×0.000258351340441054×6371000²
    0.000766989999999801×0.000258351340441054×40589641000000     		ar = 3115803.20795247m²