Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6718 / 3006
↖ ↑ ↗
← N 43.133061°
E115.224609°		 ← 3 566.01 m → N 43.133061°
E115.268555°		 →
↑
3 566.93 m
↓
↑
3 566.93 m
↓
N 43.100983°
E115.224609°		 ← 3 567.88 m →
12 723 035 m²		 N 43.100983°
E115.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82012939453125 y=0.36700439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82012939453125 × 213)
    floor (0.82012939453125 × 8192)
    floor (6718.5)     		tx = 6718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36700439453125 × 213)
    floor (0.36700439453125 × 8192)
    floor (3006.5)     		ty = 3006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6718 / 3006 ti = "13/6718/3006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6718/3006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6718 ÷ 213
    6718 ÷ 8192     		x = 0.820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3006 ÷ 213
    3006 ÷ 8192     		y = 0.366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820068359375 × 2 - 1) × π
    0.64013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01104881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366943359375 × 2 - 1) × π
    0.26611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.836019529373779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01104881} λ = 2.01104881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.836019529373779))-π/2
    2×atan(2.30716507217565)-π/2
    2×1.16180513026277-π/2
    2.32361026052554-1.57079632675     		φ = 0.75281393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01104881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.224609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75281393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.133061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6718 KachelY 3006 2.01104881 0.75281393 115.224609 43.133061
    Oben rechts KachelX + 1 6719 KachelY 3006 2.01181580 0.75281393 115.268555 43.133061
    Unten links KachelX 6718 KachelY + 1 3007 2.01104881 0.75225406 115.224609 43.100983
    Unten rechts KachelX + 1 6719 KachelY + 1 3007 2.01181580 0.75225406 115.268555 43.100983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75281393-0.75225406) × R
    0.000559870000000018 × 6371000     		dl = 3566.93177000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75281393-0.75225406) × R
    0.000559870000000018 × 6371000     		dr = 3566.93177000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01104881-2.01181580) × cos(0.75281393) × R
    0.000766989999999801 × 0.729767890820886 × 6371000     		do = 3566.00590175278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01104881-2.01181580) × cos(0.75225406) × R
    0.000766989999999801 × 0.730150556734798 × 6371000     		du = 3567.87579617343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75281393)-sin(0.75225406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729767890820886-0.730150556734798)×R²
    abs(2.01181580-2.01104881)×0.000382665913912339×R²
    0.000766989999999801×0.000382665913912339×6371000²
    0.000766989999999801×0.000382665913912339×40589641000000     		ar = 12723034.9682213m²