Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6718 / 2619
↖ ↑ ↗
← N 54.290882°
E115.224609°		 ← 2 852.10 m → N 54.290882°
E115.268555°		 →
↑
2 853 m
↓
↑
2 853 m
↓
N 54.265224°
E115.224609°		 ← 2 853.88 m →
8 139 573 m²		 N 54.265224°
E115.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82012939453125 y=0.31976318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82012939453125 × 213)
    floor (0.82012939453125 × 8192)
    floor (6718.5)     		tx = 6718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31976318359375 × 213)
    floor (0.31976318359375 × 8192)
    floor (2619.5)     		ty = 2619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6718 / 2619 ti = "13/6718/2619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6718/2619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6718 ÷ 213
    6718 ÷ 8192     		x = 0.820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2619 ÷ 213
    2619 ÷ 8192     		y = 0.3197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820068359375 × 2 - 1) × π
    0.64013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01104881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3197021484375 × 2 - 1) × π
    0.360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13284481182117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01104881} λ = 2.01104881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13284481182117))-π/2
    2×atan(3.1044755987208)-π/2
    2×1.2591754826596-π/2
    2.51835096531921-1.57079632675     		φ = 0.94755464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01104881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.224609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94755464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.290882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6718 KachelY 2619 2.01104881 0.94755464 115.224609 54.290882
    Oben rechts KachelX + 1 6719 KachelY 2619 2.01181580 0.94755464 115.268555 54.290882
    Unten links KachelX 6718 KachelY + 1 2620 2.01104881 0.94710683 115.224609 54.265224
    Unten rechts KachelX + 1 6719 KachelY + 1 2620 2.01181580 0.94710683 115.268555 54.265224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94755464-0.94710683) × R
    0.000447810000000048 × 6371000     		dl = 2852.99751000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94755464-0.94710683) × R
    0.000447810000000048 × 6371000     		dr = 2852.99751000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01104881-2.01181580) × cos(0.94755464) × R
    0.000766989999999801 × 0.58367044205109 × 6371000     		do = 2852.10169865324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01104881-2.01181580) × cos(0.94710683) × R
    0.000766989999999801 × 0.584034001048921 × 6371000     		du = 2853.87822725666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94755464)-sin(0.94710683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58367044205109-0.584034001048921)×R²
    abs(2.01181580-2.01104881)×0.000363558997831248×R²
    0.000766989999999801×0.000363558997831248×6371000²
    0.000766989999999801×0.000363558997831248×40589641000000     		ar = 8139573.39638873m²