Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6718 / 1731
↖ ↑ ↗
← N 80.404726°
W 32.387695°		 ← 407.25 m → N 80.404726°
W 32.365723°		 →
↑
407.30 m
↓
↑
407.30 m
↓
N 80.401063°
W 32.387695°		 ← 407.41 m →
165 905 m²		 N 80.401063°
W 32.365723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410064697265625 y=0.105682373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410064697265625 × 214)
    floor (0.410064697265625 × 16384)
    floor (6718.5)     		tx = 6718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105682373046875 × 214)
    floor (0.105682373046875 × 16384)
    floor (1731.5)     		ty = 1731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6718 / 1731 ti = "14/6718/1731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6718/1731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6718 ÷ 214
    6718 ÷ 16384     		x = 0.4100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1731 ÷ 214
    1731 ÷ 16384     		y = 0.10565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4100341796875 × 2 - 1) × π
    -0.179931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56527192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10565185546875 × 2 - 1) × π
    0.7886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47776246756146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56527192} λ = -0.56527192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47776246756146))-π/2
    2×atan(11.9145753213516)-π/2
    2×1.48706176463614-π/2
    2.97412352927227-1.57079632675     		φ = 1.40332720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56527192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.387695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40332720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.404726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6718 KachelY 1731 -0.56527192 1.40332720 -32.387695 80.404726
    Oben rechts KachelX + 1 6719 KachelY 1731 -0.56488843 1.40332720 -32.365723 80.404726
    Unten links KachelX 6718 KachelY + 1 1732 -0.56527192 1.40326327 -32.387695 80.401063
    Unten rechts KachelX + 1 6719 KachelY + 1 1732 -0.56488843 1.40326327 -32.365723 80.401063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40332720-1.40326327) × R
    6.39300000000453e-05 × 6371000     		dl = 407.298030000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40332720-1.40326327) × R
    6.39300000000453e-05 × 6371000     		dr = 407.298030000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56527192--0.56488843) × cos(1.40332720) × R
    0.000383490000000042 × 0.166687419818776 × 6371000     		do = 407.253169408218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56527192--0.56488843) × cos(1.40326327) × R
    0.000383490000000042 × 0.166750455083917 × 6371000     		du = 407.407178100301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40332720)-sin(1.40326327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166687419818776-0.166750455083917)×R²
    abs(-0.56488843--0.56527192)×6.30352651406485e-05×R²
    0.000383490000000042×6.30352651406485e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.30352651406485e-05×40589641000000     		ar = 165904.777386369m²