Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67177 / 69544
↖ ↑ ↗
← S 10.941192°
E  4.507141°		 ← 299.87 m → S 10.941192°
E  4.509888°		 →
↑
299.88 m
↓
↑
299.88 m
↓
S 10.943889°
E  4.507141°		 ← 299.87 m →
89 927 m²		 S 10.943889°
E  4.509888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512523651123047 y=0.530582427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512523651123047 × 217)
    floor (0.512523651123047 × 131072)
    floor (67177.5)     		tx = 67177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530582427978516 × 217)
    floor (0.530582427978516 × 131072)
    floor (69544.5)     		ty = 69544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67177 / 69544 ti = "17/67177/69544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67177/69544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67177 ÷ 217
    67177 ÷ 131072     		x = 0.512519836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69544 ÷ 217
    69544 ÷ 131072     		y = 0.53057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512519836425781 × 2 - 1) × π
    0.0250396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07866445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0611572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.192131093677185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07866445} λ = 0.07866445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192131093677185))-π/2
    2×atan(0.825198683070853)-π/2
    2×0.689918252956144-π/2
    1.37983650591229-1.57079632675     		φ = -0.19095982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07866445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.507141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19095982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.941192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67177 KachelY 69544 0.07866445 -0.19095982 4.507141 -10.941192
    Oben rechts KachelX + 1 67178 KachelY 69544 0.07871239 -0.19095982 4.509888 -10.941192
    Unten links KachelX 67177 KachelY + 1 69545 0.07866445 -0.19100689 4.507141 -10.943889
    Unten rechts KachelX + 1 67178 KachelY + 1 69545 0.07871239 -0.19100689 4.509888 -10.943889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19095982--0.19100689) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dl = 299.882970000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19095982--0.19100689) × R
    4.70700000000102e-05 × 6371000     		dr = 299.882970000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07866445-0.07871239) × cos(-0.19095982) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981822512262684 × 6371000     		do = 299.873867356466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07866445-0.07871239) × cos(-0.19100689) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981813577225245 × 6371000     		du = 299.871138366045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19095982)-sin(-0.19100689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981822512262684-0.981813577225245)×R²
    abs(0.07871239-0.07866445)×8.93503743881752e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.93503743881752e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.93503743881752e-06×40589641000000     		ar = 89926.6567960034m²