Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67175 / 69671
↖ ↑ ↗
← S 11.283468°
E  4.501648°		 ← 299.52 m → S 11.283468°
E  4.504395°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
S 11.286161°
E  4.501648°		 ← 299.52 m →
89 707 m²		 S 11.286161°
E  4.504395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512508392333984 y=0.531551361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512508392333984 × 217)
    floor (0.512508392333984 × 131072)
    floor (67175.5)     		tx = 67175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531551361083984 × 217)
    floor (0.531551361083984 × 131072)
    floor (69671.5)     		ty = 69671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67175 / 69671 ti = "17/67175/69671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67175/69671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67175 ÷ 217
    67175 ÷ 131072     		x = 0.512504577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69671 ÷ 217
    69671 ÷ 131072     		y = 0.531547546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512504577636719 × 2 - 1) × π
    0.0250091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07856858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531547546386719 × 2 - 1) × π
    -0.0630950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.198219079928932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07856858} λ = 0.07856858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198219079928932))-π/2
    2×atan(0.820190146254512)-π/2
    2×0.686931335795343-π/2
    1.37386267159069-1.57079632675     		φ = -0.19693366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07856858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.501648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19693366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.283468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67175 KachelY 69671 0.07856858 -0.19693366 4.501648 -11.283468
    Oben rechts KachelX + 1 67176 KachelY 69671 0.07861652 -0.19693366 4.504395 -11.283468
    Unten links KachelX 67175 KachelY + 1 69672 0.07856858 -0.19698067 4.501648 -11.286161
    Unten rechts KachelX + 1 67176 KachelY + 1 69672 0.07861652 -0.19698067 4.504395 -11.286161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19693366--0.19698067) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dl = 299.500709999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19693366--0.19698067) × R
    4.70099999999862e-05 × 6371000     		dr = 299.500709999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07856858-0.07861652) × cos(-0.19693366) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980671157096915 × 6371000     		do = 299.522213852959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07856858-0.07861652) × cos(-0.19698067) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980661957887019 × 6371000     		du = 299.519404177469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19693366)-sin(-0.19698067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980671157096915-0.980661957887019)×R²
    abs(0.07861652-0.07856858)×9.19920989650436e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.19920989650436e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.19920989650436e-06×40589641000000     		ar = 89706.6949762954m²