Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67170 / 69661
↖ ↑ ↗
← S 11.256531°
E  4.487915°		 ← 299.55 m → S 11.256531°
E  4.490662°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
S 11.259225°
E  4.487915°		 ← 299.55 m →
89 715 m²		 S 11.259225°
E  4.490662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512470245361328 y=0.531475067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512470245361328 × 217)
    floor (0.512470245361328 × 131072)
    floor (67170.5)     		tx = 67170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531475067138672 × 217)
    floor (0.531475067138672 × 131072)
    floor (69661.5)     		ty = 69661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67170 / 69661 ti = "17/67170/69661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67170/69661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67170 ÷ 217
    67170 ÷ 131072     		x = 0.512466430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69661 ÷ 217
    69661 ÷ 131072     		y = 0.531471252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512466430664062 × 2 - 1) × π
    0.024932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07832889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531471252441406 × 2 - 1) × π
    -0.0629425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.197739710932732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07832889} λ = 0.07832889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197739710932732))-π/2
    2×atan(0.820583414234323)-π/2
    2×0.687166398484664-π/2
    1.37433279696933-1.57079632675     		φ = -0.19646353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07832889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.487915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19646353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.256531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67170 KachelY 69661 0.07832889 -0.19646353 4.487915 -11.256531
    Oben rechts KachelX + 1 67171 KachelY 69661 0.07837683 -0.19646353 4.490662 -11.256531
    Unten links KachelX 67170 KachelY + 1 69662 0.07832889 -0.19651054 4.487915 -11.259225
    Unten rechts KachelX + 1 67171 KachelY + 1 69662 0.07837683 -0.19651054 4.490662 -11.259225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19646353--0.19651054) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19646353--0.19651054) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07832889-0.07837683) × cos(-0.19646353) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980763035851245 × 6371000     		do = 299.55027598949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07832889-0.07837683) × cos(-0.19651054) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98075385831589 × 6371000     		du = 299.547472933963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19646353)-sin(-0.19651054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980763035851245-0.98075385831589)×R²
    abs(0.07837683-0.07832889)×9.17753535423227e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.17753535423227e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.17753535423227e-06×40589641000000     		ar = 89715.1005975292m²