Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6717 / 2618
↖ ↑ ↗
← N 54.316523°
E115.180664°		 ← 2 850.33 m → N 54.316523°
E115.224609°		 →
↑
2 851.21 m
↓
↑
2 851.21 m
↓
N 54.290882°
E115.180664°		 ← 2 852.10 m →
8 129 420 m²		 N 54.290882°
E115.224609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82000732421875 y=0.31964111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82000732421875 × 213)
    floor (0.82000732421875 × 8192)
    floor (6717.5)     		tx = 6717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31964111328125 × 213)
    floor (0.31964111328125 × 8192)
    floor (2618.5)     		ty = 2618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6717 / 2618 ti = "13/6717/2618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6717/2618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6717 ÷ 213
    6717 ÷ 8192     		x = 0.8199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2618 ÷ 213
    2618 ÷ 8192     		y = 0.319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8199462890625 × 2 - 1) × π
    0.639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01028182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319580078125 × 2 - 1) × π
    0.36083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13361180221509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01028182} λ = 2.01028182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13361180221509))-π/2
    2×atan(3.10685761505823)-π/2
    2×1.25939924777726-π/2
    2.51879849555452-1.57079632675     		φ = 0.94800217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01028182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94800217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.316523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6717 KachelY 2618 2.01028182 0.94800217 115.180664 54.316523
    Oben rechts KachelX + 1 6718 KachelY 2618 2.01104881 0.94800217 115.224609 54.316523
    Unten links KachelX 6717 KachelY + 1 2619 2.01028182 0.94755464 115.180664 54.290882
    Unten rechts KachelX + 1 6718 KachelY + 1 2619 2.01104881 0.94755464 115.224609 54.290882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94800217-0.94755464) × R
    0.000447529999999974 × 6371000     		dl = 2851.21362999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94800217-0.94755464) × R
    0.000447529999999974 × 6371000     		dr = 2851.21362999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01028182-2.01104881) × cos(0.94800217) × R
    0.000766990000000245 × 0.583306993438132 × 6371000     		do = 2850.32570944642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01028182-2.01104881) × cos(0.94755464) × R
    0.000766990000000245 × 0.58367044205109 × 6371000     		du = 2852.10169865489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94800217)-sin(0.94755464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583306993438132-0.58367044205109)×R²
    abs(2.01104881-2.01028182)×0.000363448612957784×R²
    0.000766990000000245×0.000363448612957784×6371000²
    0.000766990000000245×0.000363448612957784×40589641000000     		ar = 8129419.51071429m²