Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67165 / 69707
↖ ↑ ↗
← S 11.380417°
E  4.474182°		 ← 299.42 m → S 11.380417°
E  4.476929°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
S 11.383109°
E  4.474182°		 ← 299.42 m →
89 638 m²		 S 11.383109°
E  4.476929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512432098388672 y=0.531826019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512432098388672 × 217)
    floor (0.512432098388672 × 131072)
    floor (67165.5)     		tx = 67165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531826019287109 × 217)
    floor (0.531826019287109 × 131072)
    floor (69707.5)     		ty = 69707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67165 / 69707 ti = "17/67165/69707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67165/69707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67165 ÷ 217
    67165 ÷ 131072     		x = 0.512428283691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69707 ÷ 217
    69707 ÷ 131072     		y = 0.531822204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512428283691406 × 2 - 1) × π
    0.0248565673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07808921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531822204589844 × 2 - 1) × π
    -0.0636444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.199944808315254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07808921} λ = 0.07808921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199944808315254))-π/2
    2×atan(0.818775941454597)-π/2
    2×0.686085293017713-π/2
    1.37217058603543-1.57079632675     		φ = -0.19862574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07808921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.474182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19862574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.380417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67165 KachelY 69707 0.07808921 -0.19862574 4.474182 -11.380417
    Oben rechts KachelX + 1 67166 KachelY 69707 0.07813715 -0.19862574 4.476929 -11.380417
    Unten links KachelX 67165 KachelY + 1 69708 0.07808921 -0.19867273 4.474182 -11.383109
    Unten rechts KachelX + 1 67166 KachelY + 1 69708 0.07813715 -0.19867273 4.476929 -11.383109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19862574--0.19867273) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19862574--0.19867273) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07808921-0.07813715) × cos(-0.19862574) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98033867559775 × 6371000     		do = 299.42066544504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07808921-0.07813715) × cos(-0.19867273) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980329402341619 × 6371000     		du = 299.417833153924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19862574)-sin(-0.19867273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98033867559775-0.980329402341619)×R²
    abs(0.07813715-0.07808921)×9.27325613120367e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.27325613120367e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.27325613120367e-06×40589641000000     		ar = 89638.1257686143m²