Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67162 / 69679
↖ ↑ ↗
← S 11.305014°
E  4.465942°		 ← 299.50 m → S 11.305014°
E  4.468689°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
S 11.307708°
E  4.465942°		 ← 299.50 m →
89 700 m²		 S 11.307708°
E  4.468689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512409210205078 y=0.531612396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512409210205078 × 217)
    floor (0.512409210205078 × 131072)
    floor (67162.5)     		tx = 67162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531612396240234 × 217)
    floor (0.531612396240234 × 131072)
    floor (69679.5)     		ty = 69679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67162 / 69679 ti = "17/67162/69679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67162/69679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67162 ÷ 217
    67162 ÷ 131072     		x = 0.512405395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69679 ÷ 217
    69679 ÷ 131072     		y = 0.531608581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512405395507812 × 2 - 1) × π
    0.024810791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07794540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531608581542969 × 2 - 1) × π
    -0.0632171630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.198602575125893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07794540} λ = 0.07794540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198602575125893))-π/2
    2×atan(0.819875667577214)-π/2
    2×0.686743301515072-π/2
    1.37348660303014-1.57079632675     		φ = -0.19730972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07794540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.465942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19730972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.305014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67162 KachelY 69679 0.07794540 -0.19730972 4.465942 -11.305014
    Oben rechts KachelX + 1 67163 KachelY 69679 0.07799334 -0.19730972 4.468689 -11.305014
    Unten links KachelX 67162 KachelY + 1 69680 0.07794540 -0.19735673 4.465942 -11.307708
    Unten rechts KachelX + 1 67163 KachelY + 1 69680 0.07799334 -0.19735673 4.468689 -11.307708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19730972--0.19735673) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19730972--0.19735673) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07794540-0.07799334) × cos(-0.19730972) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980597506657804 × 6371000     		do = 299.499719113092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07794540-0.07799334) × cos(-0.19735673) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980588290111766 × 6371000     		du = 299.496904142698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19730972)-sin(-0.19735673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980597506657804-0.980588290111766)×R²
    abs(0.07799334-0.07794540)×9.21654603835975e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.21654603835975e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.21654603835975e-06×40589641000000     		ar = 89699.9569929007m²