Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67162 / 46982
↖ ↑ ↗
← N 45.325117°
E  4.465942°		 ← 214.74 m → N 45.325117°
E  4.468689°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
N 45.323186°
E  4.465942°		 ← 214.75 m →
46 106 m²		 N 45.323186°
E  4.468689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512409210205078 y=0.358448028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512409210205078 × 217)
    floor (0.512409210205078 × 131072)
    floor (67162.5)     		tx = 67162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358448028564453 × 217)
    floor (0.358448028564453 × 131072)
    floor (46982.5)     		ty = 46982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67162 / 46982 ti = "17/67162/46982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67162/46982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67162 ÷ 217
    67162 ÷ 131072     		x = 0.512405395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46982 ÷ 217
    46982 ÷ 131072     		y = 0.358444213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512405395507812 × 2 - 1) × π
    0.024810791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07794540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358444213867188 × 2 - 1) × π
    0.283111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.889421235550522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07794540} λ = 0.07794540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.889421235550522))-π/2
    2×atan(2.43372069258477)-π/2
    2×1.18093442302683-π/2
    2.36186884605366-1.57079632675     		φ = 0.79107252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07794540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.465942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79107252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.325117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67162 KachelY 46982 0.07794540 0.79107252 4.465942 45.325117
    Oben rechts KachelX + 1 67163 KachelY 46982 0.07799334 0.79107252 4.468689 45.325117
    Unten links KachelX 67162 KachelY + 1 46983 0.07794540 0.79103882 4.465942 45.323186
    Unten rechts KachelX + 1 67163 KachelY + 1 46983 0.07799334 0.79103882 4.468689 45.323186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79107252-0.79103882) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dl = 214.702699999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79107252-0.79103882) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dr = 214.702699999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07794540-0.07799334) × cos(0.79107252) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.70308304289027 × 6371000     		do = 214.739658656196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07794540-0.07799334) × cos(0.79103882) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703107006822262 × 6371000     		du = 214.746977857858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79107252)-sin(0.79103882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70308304289027-0.703107006822262)×R²
    abs(0.07799334-0.07794540)×2.39639319918883e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39639319918883e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39639319918883e-05×40589641000000     		ar = 46105.9702409893m²