Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67161 / 69677
↖ ↑ ↗
← S 11.299628°
E  4.463196°		 ← 299.51 m → S 11.299628°
E  4.465942°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
S 11.302321°
E  4.463196°		 ← 299.50 m →
89 702 m²		 S 11.302321°
E  4.465942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512401580810547 y=0.531597137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512401580810547 × 217)
    floor (0.512401580810547 × 131072)
    floor (67161.5)     		tx = 67161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531597137451172 × 217)
    floor (0.531597137451172 × 131072)
    floor (69677.5)     		ty = 69677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67161 / 69677 ti = "17/67161/69677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67161/69677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67161 ÷ 217
    67161 ÷ 131072     		x = 0.512397766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69677 ÷ 217
    69677 ÷ 131072     		y = 0.531593322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512397766113281 × 2 - 1) × π
    0.0247955322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07789746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531593322753906 × 2 - 1) × π
    -0.0631866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.198506701326653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07789746} λ = 0.07789746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198506701326653))-π/2
    2×atan(0.81995427594055)-π/2
    2×0.686790308760945-π/2
    1.37358061752189-1.57079632675     		φ = -0.19721571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07789746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.463196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19721571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.299628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67161 KachelY 69677 0.07789746 -0.19721571 4.463196 -11.299628
    Oben rechts KachelX + 1 67162 KachelY 69677 0.07794540 -0.19721571 4.465942 -11.299628
    Unten links KachelX 67161 KachelY + 1 69678 0.07789746 -0.19726272 4.463196 -11.302321
    Unten rechts KachelX + 1 67162 KachelY + 1 69678 0.07794540 -0.19726272 4.465942 -11.302321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19721571--0.19726272) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19721571--0.19726272) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07789746-0.07794540) × cos(-0.19721571) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980615931289278 × 6371000     		do = 299.505346469794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07789746-0.07794540) × cos(-0.19726272) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980606719076922 × 6371000     		du = 299.502532823018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19721571)-sin(-0.19726272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980615931289278-0.980606719076922)×R²
    abs(0.07794540-0.07789746)×9.21221235561376e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.21221235561376e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.21221235561376e-06×40589641000000     		ar = 89701.6425884604m²