Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67161 / 46983
↖ ↑ ↗
← N 45.323186°
E  4.463196°		 ← 214.75 m → N 45.323186°
E  4.465942°		 →
↑
214.77 m
↓
↑
214.77 m
↓
N 45.321254°
E  4.463196°		 ← 214.75 m →
46 121 m²		 N 45.321254°
E  4.465942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512401580810547 y=0.358455657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512401580810547 × 217)
    floor (0.512401580810547 × 131072)
    floor (67161.5)     		tx = 67161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358455657958984 × 217)
    floor (0.358455657958984 × 131072)
    floor (46983.5)     		ty = 46983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67161 / 46983 ti = "17/67161/46983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67161/46983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67161 ÷ 217
    67161 ÷ 131072     		x = 0.512397766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46983 ÷ 217
    46983 ÷ 131072     		y = 0.358451843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512397766113281 × 2 - 1) × π
    0.0247955322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07789746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358451843261719 × 2 - 1) × π
    0.283096313476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.889373298650902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07789746} λ = 0.07789746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.889373298650902))-π/2
    2×atan(2.43360403035646)-π/2
    2×1.18091757092897-π/2
    2.36183514185793-1.57079632675     		φ = 0.79103882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07789746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.463196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79103882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.323186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67161 KachelY 46983 0.07789746 0.79103882 4.463196 45.323186
    Oben rechts KachelX + 1 67162 KachelY 46983 0.07794540 0.79103882 4.465942 45.323186
    Unten links KachelX 67161 KachelY + 1 46984 0.07789746 0.79100511 4.463196 45.321254
    Unten rechts KachelX + 1 67162 KachelY + 1 46984 0.07794540 0.79100511 4.465942 45.321254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79103882-0.79100511) × R
    3.37100000000756e-05 × 6371000     		dl = 214.766410000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79103882-0.79100511) × R
    3.37100000000756e-05 × 6371000     		dr = 214.766410000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07789746-0.07794540) × cos(0.79103882) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703107006822262 × 6371000     		do = 214.746977857858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07789746-0.07794540) × cos(0.79100511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703130977066346 × 6371000     		du = 214.754298987395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79103882)-sin(0.79100511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703107006822262-0.703130977066346)×R²
    abs(0.07794540-0.07789746)×2.39702440840706e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39702440840706e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39702440840706e-05×40589641000000     		ar = 46121.2236636598m²