Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6716 / 3139
↖ ↑ ↗
← N 38.719805°
E115.136719°		 ← 3 812.51 m → N 38.719805°
E115.180664°		 →
↑
3 813.43 m
↓
↑
3 813.43 m
↓
N 38.685510°
E115.136719°		 ← 3 814.34 m →
14 542 218 m²		 N 38.685510°
E115.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81988525390625 y=0.38323974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81988525390625 × 213)
    floor (0.81988525390625 × 8192)
    floor (6716.5)     		tx = 6716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38323974609375 × 213)
    floor (0.38323974609375 × 8192)
    floor (3139.5)     		ty = 3139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6716 / 3139 ti = "13/6716/3139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6716/3139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6716 ÷ 213
    6716 ÷ 8192     		x = 0.81982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3139 ÷ 213
    3139 ÷ 8192     		y = 0.3831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81982421875 × 2 - 1) × π
    0.6396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00951483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3831787109375 × 2 - 1) × π
    0.233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.7340098069823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00951483} λ = 2.00951483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.7340098069823))-π/2
    2×atan(2.08341798484914)-π/2
    2×1.12329220263348-π/2
    2.24658440526695-1.57079632675     		φ = 0.67578808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00951483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67578808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.719805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6716 KachelY 3139 2.00951483 0.67578808 115.136719 38.719805
    Oben rechts KachelX + 1 6717 KachelY 3139 2.01028182 0.67578808 115.180664 38.719805
    Unten links KachelX 6716 KachelY + 1 3140 2.00951483 0.67518952 115.136719 38.685510
    Unten rechts KachelX + 1 6717 KachelY + 1 3140 2.01028182 0.67518952 115.180664 38.685510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67578808-0.67518952) × R
    0.000598560000000026 × 6371000     		dl = 3813.42576000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67578808-0.67518952) × R
    0.000598560000000026 × 6371000     		dr = 3813.42576000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00951483-2.01028182) × cos(0.67578808) × R
    0.000766989999999801 × 0.780214239669202 × 6371000     		do = 3812.51164690502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00951483-2.01028182) × cos(0.67518952) × R
    0.000766989999999801 × 0.78058850657304 × 6371000     		du = 3814.34049961929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67578808)-sin(0.67518952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780214239669202-0.78058850657304)×R²
    abs(2.01028182-2.00951483)×0.000374266903837572×R²
    0.000766989999999801×0.000374266903837572×6371000²
    0.000766989999999801×0.000374266903837572×40589641000000     		ar = 14542217.6558119m²