Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6716 / 1602
↖ ↑ ↗
← N 80.865854°
W 32.431641°		 ← 387.85 m → N 80.865854°
W 32.409668°		 →
↑
387.93 m
↓
↑
387.93 m
↓
N 80.862365°
W 32.431641°		 ← 388 m →
150 488 m²		 N 80.862365°
W 32.409668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409942626953125 y=0.097808837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409942626953125 × 214)
    floor (0.409942626953125 × 16384)
    floor (6716.5)     		tx = 6716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097808837890625 × 214)
    floor (0.097808837890625 × 16384)
    floor (1602.5)     		ty = 1602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6716 / 1602 ti = "14/6716/1602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6716/1602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6716 ÷ 214
    6716 ÷ 16384     		x = 0.409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1602 ÷ 214
    1602 ÷ 16384     		y = 0.0977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0977783203125 × 2 - 1) × π
    0.804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52723334796936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56603891} λ = -0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52723334796936))-π/2
    2×atan(12.518822953696)-π/2
    2×1.49108586306452-π/2
    2.98217172612904-1.57079632675     		φ = 1.41137540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41137540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.865854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6716 KachelY 1602 -0.56603891 1.41137540 -32.431641 80.865854
    Oben rechts KachelX + 1 6717 KachelY 1602 -0.56565542 1.41137540 -32.409668 80.865854
    Unten links KachelX 6716 KachelY + 1 1603 -0.56603891 1.41131451 -32.431641 80.862365
    Unten rechts KachelX + 1 6717 KachelY + 1 1603 -0.56565542 1.41131451 -32.409668 80.862365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41137540-1.41131451) × R
    6.08900000000911e-05 × 6371000     		dl = 387.930190000581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41137540-1.41131451) × R
    6.08900000000911e-05 × 6371000     		dr = 387.930190000581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56603891--0.56565542) × cos(1.41137540) × R
    0.000383489999999931 × 0.158746503067296 × 6371000     		do = 387.851804154728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56603891--0.56565542) × cos(1.41131451) × R
    0.000383489999999931 × 0.158806620649704 × 6371000     		du = 387.998684321206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41137540)-sin(1.41131451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158746503067296-0.158806620649704)×R²
    abs(-0.56565542--0.56603891)×6.01175824080369e-05×R²
    0.000383489999999931×6.01175824080369e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.01175824080369e-05×40589641000000     		ar = 150487.91374811m²