Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67156 / 69685
↖ ↑ ↗
← S 11.321174°
E  4.449463°		 ← 299.42 m → S 11.321174°
E  4.452209°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
S 11.323867°
E  4.449463°		 ← 299.42 m →
89 657 m²		 S 11.323867°
E  4.452209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512363433837891 y=0.531658172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512363433837891 × 217)
    floor (0.512363433837891 × 131072)
    floor (67156.5)     		tx = 67156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531658172607422 × 217)
    floor (0.531658172607422 × 131072)
    floor (69685.5)     		ty = 69685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67156 / 69685 ti = "17/67156/69685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67156/69685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67156 ÷ 217
    67156 ÷ 131072     		x = 0.512359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69685 ÷ 217
    69685 ÷ 131072     		y = 0.531654357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512359619140625 × 2 - 1) × π
    0.02471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07765778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531654357910156 × 2 - 1) × π
    -0.0633087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.198890196523613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07765778} λ = 0.07765778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198890196523613))-π/2
    2×atan(0.819639887701043)-π/2
    2×0.686602285079816-π/2
    1.37320457015963-1.57079632675     		φ = -0.19759176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07765778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.449463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19759176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.321174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67156 KachelY 69685 0.07765778 -0.19759176 4.449463 -11.321174
    Oben rechts KachelX + 1 67157 KachelY 69685 0.07770571 -0.19759176 4.452209 -11.321174
    Unten links KachelX 67156 KachelY + 1 69686 0.07765778 -0.19763876 4.449463 -11.323867
    Unten rechts KachelX + 1 67157 KachelY + 1 69686 0.07770571 -0.19763876 4.452209 -11.323867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19759176--0.19763876) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dl = 299.436999999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19759176--0.19763876) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dr = 299.436999999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07765778-0.07770571) × cos(-0.19759176) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980542178802531 × 6371000     		do = 299.420350219774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07765778-0.07770571) × cos(-0.19763876) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980532951219018 × 6371000     		du = 299.41753246614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19759176)-sin(-0.19763876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980542178802531-0.980532951219018)×R²
    abs(0.07770571-0.07765778)×9.22758351296071e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.22758351296071e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.22758351296071e-06×40589641000000     		ar = 89657.109555413m²