Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67153 / 69777
↖ ↑ ↗
← S 11.568834°
E  4.441223°		 ← 299.16 m → S 11.568834°
E  4.443970°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
S 11.571526°
E  4.441223°		 ← 299.16 m →
89 521 m²		 S 11.571526°
E  4.443970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512340545654297 y=0.532360076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512340545654297 × 217)
    floor (0.512340545654297 × 131072)
    floor (67153.5)     		tx = 67153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532360076904297 × 217)
    floor (0.532360076904297 × 131072)
    floor (69777.5)     		ty = 69777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67153 / 69777 ti = "17/67153/69777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67153/69777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67153 ÷ 217
    67153 ÷ 131072     		x = 0.512336730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69777 ÷ 217
    69777 ÷ 131072     		y = 0.532356262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512336730957031 × 2 - 1) × π
    0.0246734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07751397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532356262207031 × 2 - 1) × π
    -0.0647125244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.203300391288658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07751397} λ = 0.07751397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.203300391288658))-π/2
    2×atan(0.816033075377481)-π/2
    2×0.684441036515928-π/2
    1.36888207303186-1.57079632675     		φ = -0.20191425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07751397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.441223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20191425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.568834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67153 KachelY 69777 0.07751397 -0.20191425 4.441223 -11.568834
    Oben rechts KachelX + 1 67154 KachelY 69777 0.07756190 -0.20191425 4.443970 -11.568834
    Unten links KachelX 67153 KachelY + 1 69778 0.07751397 -0.20196122 4.441223 -11.571526
    Unten rechts KachelX + 1 67154 KachelY + 1 69778 0.07756190 -0.20196122 4.443970 -11.571526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20191425--0.20196122) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dl = 299.245870000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20191425--0.20196122) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dr = 299.245870000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07751397-0.07756190) × cos(-0.20191425) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.979684479652593 × 6371000     		do = 299.158441466219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07751397-0.07756190) × cos(-0.20196122) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.979675058970537 × 6371000     		du = 299.155564747623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20191425)-sin(-0.20196122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979684479652593-0.979675058970537)×R²
    abs(0.07756190-0.07751397)×9.42068205600499e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.42068205600499e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.42068205600499e-06×40589641000000     		ar = 89521.4976778091m²