Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6715 / 3141
↖ ↑ ↗
← N 38.651198°
E115.092773°		 ← 3 816.17 m → N 38.651198°
E115.136719°		 →
↑
3 817.06 m
↓
↑
3 817.06 m
↓
N 38.616871°
E115.092773°		 ← 3 818 m →
14 570 024 m²		 N 38.616871°
E115.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81976318359375 y=0.38348388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81976318359375 × 213)
    floor (0.81976318359375 × 8192)
    floor (6715.5)     		tx = 6715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38348388671875 × 213)
    floor (0.38348388671875 × 8192)
    floor (3141.5)     		ty = 3141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6715 / 3141 ti = "13/6715/3141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6715/3141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6715 ÷ 213
    6715 ÷ 8192     		x = 0.8197021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3141 ÷ 213
    3141 ÷ 8192     		y = 0.3834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8197021484375 × 2 - 1) × π
    0.639404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00874784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3834228515625 × 2 - 1) × π
    0.233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.732475826194458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00874784} λ = 2.00874784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.732475826194458))-π/2
    2×atan(2.08022451167679)-π/2
    2×1.12269349875926-π/2
    2.24538699751851-1.57079632675     		φ = 0.67459067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00874784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.092773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67459067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.651198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6715 KachelY 3141 2.00874784 0.67459067 115.092773 38.651198
    Oben rechts KachelX + 1 6716 KachelY 3141 2.00951483 0.67459067 115.136719 38.651198
    Unten links KachelX 6715 KachelY + 1 3142 2.00874784 0.67399154 115.092773 38.616871
    Unten rechts KachelX + 1 6716 KachelY + 1 3142 2.00951483 0.67399154 115.136719 38.616871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67459067-0.67399154) × R
    0.000599130000000003 × 6371000     		dl = 3817.05723000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67459067-0.67399154) × R
    0.000599130000000003 × 6371000     		dr = 3817.05723000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00874784-2.00951483) × cos(0.67459067) × R
    0.000766990000000245 × 0.780962674939827 × 6371000     		do = 3816.16887083513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00874784-2.00951483) × cos(0.67399154) × R
    0.000766990000000245 × 0.781336737987498 × 6371000     		du = 3817.99672740762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67459067)-sin(0.67399154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780962674939827-0.781336737987498)×R²
    abs(2.00951483-2.00874784)×0.00037406304767118×R²
    0.000766990000000245×0.00037406304767118×6371000²
    0.000766990000000245×0.00037406304767118×40589641000000     		ar = 14570023.9317294m²