Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67133 / 46789
↖ ↑ ↗
← N 45.696588°
E  4.386292°		 ← 213.33 m → N 45.696588°
E  4.389038°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
N 45.694670°
E  4.386292°		 ← 213.33 m →
45 504 m²		 N 45.694670°
E  4.389038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512187957763672 y=0.356975555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512187957763672 × 217)
    floor (0.512187957763672 × 131072)
    floor (67133.5)     		tx = 67133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356975555419922 × 217)
    floor (0.356975555419922 × 131072)
    floor (46789.5)     		ty = 46789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67133 / 46789 ti = "17/67133/46789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67133/46789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67133 ÷ 217
    67133 ÷ 131072     		x = 0.512184143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46789 ÷ 217
    46789 ÷ 131072     		y = 0.356971740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512184143066406 × 2 - 1) × π
    0.0243682861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07655523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.356971740722656 × 2 - 1) × π
    0.286056518554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.898673057177193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07655523} λ = 0.07655523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.898673057177193))-π/2
    2×atan(2.45634152291078)-π/2
    2×1.18417612431961-π/2
    2.36835224863923-1.57079632675     		φ = 0.79755592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07655523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.386292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79755592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.696588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67133 KachelY 46789 0.07655523 0.79755592 4.386292 45.696588
    Oben rechts KachelX + 1 67134 KachelY 46789 0.07660317 0.79755592 4.389038 45.696588
    Unten links KachelX 67133 KachelY + 1 46790 0.07655523 0.79752244 4.386292 45.694670
    Unten rechts KachelX + 1 67134 KachelY + 1 46790 0.07660317 0.79752244 4.389038 45.694670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79755592-0.79752244) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dl = 213.301079999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79755592-0.79752244) × R
    3.34799999999191e-05 × 6371000     		dr = 213.301079999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07655523-0.07660317) × cos(0.79755592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698457902379122 × 6371000     		do = 213.327021692975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07655523-0.07660317) × cos(0.79752244) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.698481861987933 × 6371000     		du = 213.334339574226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79755592)-sin(0.79752244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698457902379122-0.698481861987933)×R²
    abs(0.07660317-0.07655523)×2.39596088117411e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39596088117411e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39596088117411e-05×40589641000000     		ar = 45503.664580441m²