Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6713 / 1353
↖ ↑ ↗
← N 81.694671°
W 32.497559°		 ← 352.93 m → N 81.694671°
W 32.475586°		 →
↑
352.95 m
↓
↑
352.95 m
↓
N 81.691497°
W 32.497559°		 ← 353.06 m →
124 591 m²		 N 81.691497°
W 32.475586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409759521484375 y=0.082611083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409759521484375 × 214)
    floor (0.409759521484375 × 16384)
    floor (6713.5)     		tx = 6713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.082611083984375 × 214)
    floor (0.082611083984375 × 16384)
    floor (1353.5)     		ty = 1353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6713 / 1353 ti = "14/6713/1353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6713/1353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6713 ÷ 214
    6713 ÷ 16384     		x = 0.40972900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1353 ÷ 214
    1353 ÷ 16384     		y = 0.08258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56718940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08258056640625 × 2 - 1) × π
    0.8348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62272365201251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56718940} λ = -0.56718940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62272365201251))-π/2
    2×atan(13.7731859102736)-π/2
    2×1.49831865975982-π/2
    2.99663731951963-1.57079632675     		φ = 1.42584099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56718940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.497559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42584099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.694671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6713 KachelY 1353 -0.56718940 1.42584099 -32.497559 81.694671
    Oben rechts KachelX + 1 6714 KachelY 1353 -0.56680590 1.42584099 -32.475586 81.694671
    Unten links KachelX 6713 KachelY + 1 1354 -0.56718940 1.42578559 -32.497559 81.691497
    Unten rechts KachelX + 1 6714 KachelY + 1 1354 -0.56680590 1.42578559 -32.475586 81.691497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42584099-1.42578559) × R
    5.53999999999277e-05 × 6371000     		dl = 352.95339999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42584099-1.42578559) × R
    5.53999999999277e-05 × 6371000     		dr = 352.95339999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56718940--0.56680590) × cos(1.42584099) × R
    0.000383499999999981 × 0.144448235061199 × 6371000     		do = 352.927267087957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56718940--0.56680590) × cos(1.42578559) × R
    0.000383499999999981 × 0.144503053824158 × 6371000     		du = 353.061204592891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42584099)-sin(1.42578559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144448235061199-0.144503053824158)×R²
    abs(-0.56680590--0.56718940)×5.48187629587915e-05×R²
    0.000383499999999981×5.48187629587915e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.48187629587915e-05×40589641000000     		ar = 124590.515752841m²