Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6713 / 10746
↖ ↑ ↗
← S 48.835798°
W 32.497559°		 ← 1 608.21 m → S 48.835798°
W 32.475586°		 →
↑
1 607.98 m
↓
↑
1 607.98 m
↓
S 48.850258°
W 32.497559°		 ← 1 607.75 m →
2 585 596 m²		 S 48.850258°
W 32.475586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409759521484375 y=0.655914306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409759521484375 × 214)
    floor (0.409759521484375 × 16384)
    floor (6713.5)     		tx = 6713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655914306640625 × 214)
    floor (0.655914306640625 × 16384)
    floor (10746.5)     		ty = 10746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6713 / 10746 ti = "14/6713/10746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6713/10746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6713 ÷ 214
    6713 ÷ 16384     		x = 0.40972900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10746 ÷ 214
    10746 ÷ 16384     		y = 0.6558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56718940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.979446733036987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56718940} λ = -0.56718940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979446733036987))-π/2
    2×atan(0.375518803536018)-π/2
    2×0.359225434128406-π/2
    0.718450868256812-1.57079632675     		φ = -0.85234546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56718940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.497559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85234546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.835798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6713 KachelY 10746 -0.56718940 -0.85234546 -32.497559 -48.835798
    Oben rechts KachelX + 1 6714 KachelY 10746 -0.56680590 -0.85234546 -32.475586 -48.835798
    Unten links KachelX 6713 KachelY + 1 10747 -0.56718940 -0.85259785 -32.497559 -48.850258
    Unten rechts KachelX + 1 6714 KachelY + 1 10747 -0.56680590 -0.85259785 -32.475586 -48.850258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85234546--0.85259785) × R
    0.000252389999999991 × 6371000     		dl = 1607.97668999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85234546--0.85259785) × R
    0.000252389999999991 × 6371000     		dr = 1607.97668999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56718940--0.56680590) × cos(-0.85234546) × R
    0.000383499999999981 × 0.658219234018474 × 6371000     		do = 1608.21290276373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56718940--0.56680590) × cos(-0.85259785) × R
    0.000383499999999981 × 0.658029207225783 × 6371000     		du = 1607.74861438672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85234546)-sin(-0.85259785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658219234018474-0.658029207225783)×R²
    abs(-0.56680590--0.56718940)×0.000190026792691311×R²
    0.000383499999999981×0.000190026792691311×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190026792691311×40589641000000     		ar = 2585595.59148171m²