Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6712 / 3146
↖ ↑ ↗
← N 38.479395°
E114.960937°		 ← 3 825.30 m → N 38.479395°
E115.004883°		 →
↑
3 826.23 m
↓
↑
3 826.23 m
↓
N 38.444984°
E114.960937°		 ← 3 827.13 m →
14 639 988 m²		 N 38.444984°
E115.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81939697265625 y=0.38409423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81939697265625 × 213)
    floor (0.81939697265625 × 8192)
    floor (6712.5)     		tx = 6712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38409423828125 × 213)
    floor (0.38409423828125 × 8192)
    floor (3146.5)     		ty = 3146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6712 / 3146 ti = "13/6712/3146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6712/3146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6712 ÷ 213
    6712 ÷ 8192     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3146 ÷ 213
    3146 ÷ 8192     		y = 0.384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.384033203125 × 2 - 1) × π
    0.23193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.728640874224854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.728640874224854))-π/2
    2×atan(2.07226222783492)-π/2
    2×1.12119422900082-π/2
    2.24238845800163-1.57079632675     		φ = 0.67159213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67159213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.479395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6712 KachelY 3146 2.00644687 0.67159213 114.960937 38.479395
    Oben rechts KachelX + 1 6713 KachelY 3146 2.00721386 0.67159213 115.004883 38.479395
    Unten links KachelX 6712 KachelY + 1 3147 2.00644687 0.67099156 114.960937 38.444984
    Unten rechts KachelX + 1 6713 KachelY + 1 3147 2.00721386 0.67099156 115.004883 38.444984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67159213-0.67099156) × R
    0.000600569999999911 × 6371000     		dl = 3826.23146999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67159213-0.67099156) × R
    0.000600569999999911 × 6371000     		dr = 3826.23146999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00721386) × cos(0.67159213) × R
    0.000766989999999801 × 0.782831982433096 × 6371000     		do = 3825.30322935573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00721386) × cos(0.67099156) × R
    0.000766989999999801 × 0.783205535793179 × 6371000     		du = 3827.12859534323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67159213)-sin(0.67099156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782831982433096-0.783205535793179)×R²
    abs(2.00721386-2.00644687)×0.000373553360082268×R²
    0.000766989999999801×0.000373553360082268×6371000²
    0.000766989999999801×0.000373553360082268×40589641000000     		ar = 14639988.1748756m²