Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67116 / 69731
↖ ↑ ↗
← S 11.445031°
E  4.339600°		 ← 299.35 m → S 11.445031°
E  4.342346°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
S 11.447723°
E  4.339600°		 ← 299.35 m →
89 599 m²		 S 11.447723°
E  4.342346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512058258056641 y=0.532009124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512058258056641 × 217)
    floor (0.512058258056641 × 131072)
    floor (67116.5)     		tx = 67116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532009124755859 × 217)
    floor (0.532009124755859 × 131072)
    floor (69731.5)     		ty = 69731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67116 / 69731 ti = "17/67116/69731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67116/69731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67116 ÷ 217
    67116 ÷ 131072     		x = 0.512054443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69731 ÷ 217
    69731 ÷ 131072     		y = 0.532005310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512054443359375 × 2 - 1) × π
    0.02410888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07574030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532005310058594 × 2 - 1) × π
    -0.0640106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.201095293906136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07574030} λ = 0.07574030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.201095293906136))-π/2
    2×atan(0.817834493196964)-π/2
    2×0.685521424383257-π/2
    1.37104284876651-1.57079632675     		φ = -0.19975348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07574030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.339600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19975348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.445031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67116 KachelY 69731 0.07574030 -0.19975348 4.339600 -11.445031
    Oben rechts KachelX + 1 67117 KachelY 69731 0.07578824 -0.19975348 4.342346 -11.445031
    Unten links KachelX 67116 KachelY + 1 69732 0.07574030 -0.19980046 4.339600 -11.447723
    Unten rechts KachelX + 1 67117 KachelY + 1 69732 0.07578824 -0.19980046 4.342346 -11.447723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19975348--0.19980046) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19975348--0.19980046) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07574030-0.07578824) × cos(-0.19975348) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.980115524023816 × 6371000     		do = 299.352509210526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07574030-0.07578824) × cos(-0.19980046) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.980106200807976 × 6371000     		du = 299.349661660428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19975348)-sin(-0.19980046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980115524023816-0.980106200807976)×R²
    abs(0.07578824-0.07574030)×9.32321583979601e-06×R²
    4.79400000000102e-05×9.32321583979601e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×9.32321583979601e-06×40589641000000     		ar = 89598.6476707283m²