Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67116 / 69709
↖ ↑ ↗
← S 11.385802°
E  4.339600°		 ← 299.41 m → S 11.385802°
E  4.342346°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
S 11.388494°
E  4.339600°		 ← 299.41 m →
89 636 m²		 S 11.388494°
E  4.342346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512058258056641 y=0.531841278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512058258056641 × 217)
    floor (0.512058258056641 × 131072)
    floor (67116.5)     		tx = 67116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531841278076172 × 217)
    floor (0.531841278076172 × 131072)
    floor (69709.5)     		ty = 69709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67116 / 69709 ti = "17/67116/69709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67116/69709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67116 ÷ 217
    67116 ÷ 131072     		x = 0.512054443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69709 ÷ 217
    69709 ÷ 131072     		y = 0.531837463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512054443359375 × 2 - 1) × π
    0.02410888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07574030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531837463378906 × 2 - 1) × π
    -0.0636749267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.200040682114494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07574030} λ = 0.07574030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200040682114494))-π/2
    2×atan(0.81869744605725)-π/2
    2×0.686038299065622-π/2
    1.37207659813124-1.57079632675     		φ = -0.19871973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07574030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.339600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19871973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.385802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67116 KachelY 69709 0.07574030 -0.19871973 4.339600 -11.385802
    Oben rechts KachelX + 1 67117 KachelY 69709 0.07578824 -0.19871973 4.342346 -11.385802
    Unten links KachelX 67116 KachelY + 1 69710 0.07574030 -0.19876672 4.339600 -11.388494
    Unten rechts KachelX + 1 67117 KachelY + 1 69710 0.07578824 -0.19876672 4.342346 -11.388494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19871973--0.19876672) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19871973--0.19876672) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07574030-0.07578824) × cos(-0.19871973) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.980320124946717 × 6371000     		do = 299.414999598807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07574030-0.07578824) × cos(-0.19876672) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.980310847360893 × 6371000     		du = 299.412165985292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19871973)-sin(-0.19876672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980320124946717-0.980310847360893)×R²
    abs(0.07578824-0.07574030)×9.27758582391913e-06×R²
    4.79400000000102e-05×9.27758582391913e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×9.27758582391913e-06×40589641000000     		ar = 89636.42936762m²