Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6710 / 3142
↖ ↑ ↗
← N 38.616871°
E114.873047°		 ← 3 818 m → N 38.616871°
E114.916992°		 →
↑
3 818.90 m
↓
↑
3 818.90 m
↓
N 38.582526°
E114.873047°		 ← 3 819.82 m →
14 584 056 m²		 N 38.582526°
E114.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81915283203125 y=0.38360595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81915283203125 × 213)
    floor (0.81915283203125 × 8192)
    floor (6710.5)     		tx = 6710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38360595703125 × 213)
    floor (0.38360595703125 × 8192)
    floor (3142.5)     		ty = 3142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6710 / 3142 ti = "13/6710/3142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6710/3142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6710 ÷ 213
    6710 ÷ 8192     		x = 0.819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3142 ÷ 213
    3142 ÷ 8192     		y = 0.383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.819091796875 × 2 - 1) × π
    0.63818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00491289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383544921875 × 2 - 1) × π
    0.23291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.731708835800537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00491289} λ = 2.00491289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.731708835800537))-π/2
    2×atan(2.07862961117401)-π/2
    2×1.12239393159514-π/2
    2.24478786319028-1.57079632675     		φ = 0.67399154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00491289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67399154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.616871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6710 KachelY 3142 2.00491289 0.67399154 114.873047 38.616871
    Oben rechts KachelX + 1 6711 KachelY 3142 2.00567988 0.67399154 114.916992 38.616871
    Unten links KachelX 6710 KachelY + 1 3143 2.00491289 0.67339212 114.873047 38.582526
    Unten rechts KachelX + 1 6711 KachelY + 1 3143 2.00567988 0.67339212 114.916992 38.582526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67399154-0.67339212) × R
    0.000599419999999906 × 6371000     		dl = 3818.9048199994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67399154-0.67339212) × R
    0.000599419999999906 × 6371000     		dr = 3818.9048199994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00491289-2.00567988) × cos(0.67399154) × R
    0.000766990000000245 × 0.781336737987498 × 6371000     		do = 3817.99672740762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00491289-2.00567988) × cos(0.67339212) × R
    0.000766990000000245 × 0.781710701425064 × 6371000     		du = 3819.82409723599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67399154)-sin(0.67339212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781336737987498-0.781710701425064)×R²
    abs(2.00567988-2.00491289)×0.00037396343756646×R²
    0.000766990000000245×0.00037396343756646×6371000²
    0.000766990000000245×0.00037396343756646×40589641000000     		ar = 14584055.8174387m²