Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6710 / 1350
↖ ↑ ↗
← N 81.704187°
W 32.563476°		 ← 352.52 m → N 81.704187°
W 32.541504°		 →
↑
352.57 m
↓
↑
352.57 m
↓
N 81.701016°
W 32.563476°		 ← 352.65 m →
124 311 m²		 N 81.701016°
W 32.541504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409576416015625 y=0.082427978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409576416015625 × 214)
    floor (0.409576416015625 × 16384)
    floor (6710.5)     		tx = 6710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.082427978515625 × 214)
    floor (0.082427978515625 × 16384)
    floor (1350.5)     		ty = 1350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6710 / 1350 ti = "14/6710/1350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6710/1350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6710 ÷ 214
    6710 ÷ 16384     		x = 0.4095458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1350 ÷ 214
    1350 ÷ 16384     		y = 0.0823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.180908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56833988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0823974609375 × 2 - 1) × π
    0.835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62387413760339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56833988} λ = -0.56833988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62387413760339))-π/2
    2×atan(13.7890408809127)-π/2
    2×1.49840170528512-π/2
    2.99680341057023-1.57079632675     		φ = 1.42600708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56833988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.563476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42600708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.704187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6710 KachelY 1350 -0.56833988 1.42600708 -32.563476 81.704187
    Oben rechts KachelX + 1 6711 KachelY 1350 -0.56795639 1.42600708 -32.541504 81.704187
    Unten links KachelX 6710 KachelY + 1 1351 -0.56833988 1.42595174 -32.563476 81.701016
    Unten rechts KachelX + 1 6711 KachelY + 1 1351 -0.56795639 1.42595174 -32.541504 81.701016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42600708-1.42595174) × R
    5.53400000000703e-05 × 6371000     		dl = 352.571140000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42600708-1.42595174) × R
    5.53400000000703e-05 × 6371000     		dr = 352.571140000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56833988--0.56795639) × cos(1.42600708) × R
    0.000383490000000042 × 0.144283884961985 × 6371000     		do = 352.516521697819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56833988--0.56795639) × cos(1.42595174) × R
    0.000383490000000042 × 0.144338645681863 × 6371000     		du = 352.650313898536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42600708)-sin(1.42595174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144283884961985-0.144338645681863)×R²
    abs(-0.56795639--0.56833988)×5.47607198782551e-05×R²
    0.000383490000000042×5.47607198782551e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.47607198782551e-05×40589641000000     		ar = 124310.73759016m²