Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67098 / 69746
↖ ↑ ↗
← S 11.485408°
E  4.290161°		 ← 299.25 m → S 11.485408°
E  4.292907°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
S 11.488099°
E  4.290161°		 ← 299.24 m →
89 567 m²		 S 11.488099°
E  4.292907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511920928955078 y=0.532123565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511920928955078 × 217)
    floor (0.511920928955078 × 131072)
    floor (67098.5)     		tx = 67098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532123565673828 × 217)
    floor (0.532123565673828 × 131072)
    floor (69746.5)     		ty = 69746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67098 / 69746 ti = "17/67098/69746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67098/69746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67098 ÷ 217
    67098 ÷ 131072     		x = 0.511917114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69746 ÷ 217
    69746 ÷ 131072     		y = 0.532119750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511917114257812 × 2 - 1) × π
    0.023834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07487744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532119750976562 × 2 - 1) × π
    -0.064239501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.201814347400436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07487744} λ = 0.07487744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.201814347400436))-π/2
    2×atan(0.81724663782193)-π/2
    2×0.685169071803555-π/2
    1.37033814360711-1.57079632675     		φ = -0.20045818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07487744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.290161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20045818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.485408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67098 KachelY 69746 0.07487744 -0.20045818 4.290161 -11.485408
    Oben rechts KachelX + 1 67099 KachelY 69746 0.07492537 -0.20045818 4.292907 -11.485408
    Unten links KachelX 67098 KachelY + 1 69747 0.07487744 -0.20050516 4.290161 -11.488099
    Unten rechts KachelX + 1 67099 KachelY + 1 69747 0.07492537 -0.20050516 4.292907 -11.488099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20045818--0.20050516) × R
    4.69799999999743e-05 × 6371000     		dl = 299.309579999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20045818--0.20050516) × R
    4.69799999999743e-05 × 6371000     		dr = 299.309579999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07487744-0.07492537) × cos(-0.20045818) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.979975448658289 × 6371000     		do = 299.247292352466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07487744-0.07492537) × cos(-0.20050516) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.979966092996427 × 6371000     		du = 299.244435488568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20045818)-sin(-0.20050516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979975448658289-0.979966092996427)×R²
    abs(0.07492537-0.07487744)×9.35566186233139e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.35566186233139e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.35566186233139e-06×40589641000000     		ar = 89567.1538631955m²