Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67095 / 69741
↖ ↑ ↗
← S 11.471949°
E  4.281922°		 ← 299.26 m → S 11.471949°
E  4.284668°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
S 11.474641°
E  4.281922°		 ← 299.26 m →
89 571 m²		 S 11.474641°
E  4.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511898040771484 y=0.532085418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511898040771484 × 217)
    floor (0.511898040771484 × 131072)
    floor (67095.5)     		tx = 67095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532085418701172 × 217)
    floor (0.532085418701172 × 131072)
    floor (69741.5)     		ty = 69741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67095 / 69741 ti = "17/67095/69741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67095/69741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67095 ÷ 217
    67095 ÷ 131072     		x = 0.511894226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69741 ÷ 217
    69741 ÷ 131072     		y = 0.532081604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511894226074219 × 2 - 1) × π
    0.0237884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07473363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532081604003906 × 2 - 1) × π
    -0.0641632080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.201574662902336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07473363} λ = 0.07473363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.201574662902336))-π/2
    2×atan(0.817442542648878)-π/2
    2×0.68528651706673-π/2
    1.37057303413346-1.57079632675     		φ = -0.20022329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07473363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.281922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20022329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.471949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67095 KachelY 69741 0.07473363 -0.20022329 4.281922 -11.471949
    Oben rechts KachelX + 1 67096 KachelY 69741 0.07478156 -0.20022329 4.284668 -11.471949
    Unten links KachelX 67095 KachelY + 1 69742 0.07473363 -0.20027027 4.281922 -11.474641
    Unten rechts KachelX + 1 67096 KachelY + 1 69742 0.07478156 -0.20027027 4.284668 -11.474641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20022329--0.20027027) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20022329--0.20027027) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07473363-0.07478156) × cos(-0.20022329) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98002219253445 × 6371000     		do = 299.26156615738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07473363-0.07478156) × cos(-0.20027027) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980012847686952 × 6371000     		du = 299.258712595778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20022329)-sin(-0.20027027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98002219253445-0.980012847686952)×R²
    abs(0.07478156-0.07473363)×9.3448474973723e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.3448474973723e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.3448474973723e-06×40589641000000     		ar = 89571.4266440464m²