Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67094 / 69742
↖ ↑ ↗
← S 11.474641°
E  4.279175°		 ← 299.32 m → S 11.474641°
E  4.281922°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
S 11.477333°
E  4.279175°		 ← 299.32 m →
89 589 m²		 S 11.477333°
E  4.281922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511890411376953 y=0.532093048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511890411376953 × 217)
    floor (0.511890411376953 × 131072)
    floor (67094.5)     		tx = 67094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532093048095703 × 217)
    floor (0.532093048095703 × 131072)
    floor (69742.5)     		ty = 69742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67094 / 69742 ti = "17/67094/69742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67094/69742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67094 ÷ 217
    67094 ÷ 131072     		x = 0.511886596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69742 ÷ 217
    69742 ÷ 131072     		y = 0.532089233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511886596679688 × 2 - 1) × π
    0.023773193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07468569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532089233398438 × 2 - 1) × π
    -0.064178466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.201622599801956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07468569} λ = 0.07468569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.201622599801956))-π/2
    2×atan(0.81740335792697)-π/2
    2×0.685263027565992-π/2
    1.37052605513198-1.57079632675     		φ = -0.20027027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07468569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.279175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20027027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.474641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67094 KachelY 69742 0.07468569 -0.20027027 4.279175 -11.474641
    Oben rechts KachelX + 1 67095 KachelY 69742 0.07473363 -0.20027027 4.281922 -11.474641
    Unten links KachelX 67094 KachelY + 1 69743 0.07468569 -0.20031725 4.279175 -11.477333
    Unten rechts KachelX + 1 67095 KachelY + 1 69743 0.07473363 -0.20031725 4.281922 -11.477333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20027027--0.20031725) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20027027--0.20031725) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07468569-0.07473363) × cos(-0.20027027) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980012847686952 × 6371000     		do = 299.321149214272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07468569-0.07473363) × cos(-0.20031725) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980003500676448 × 6371000     		du = 299.318294396672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20027027)-sin(-0.20031725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980012847686952-0.980003500676448)×R²
    abs(0.07473363-0.07468569)×9.3470105037019e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.3470105037019e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.3470105037019e-06×40589641000000     		ar = 89589.2602358039m²