Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67093 / 48976
↖ ↑ ↗
← N 41.343824°
E  4.276428°		 ← 229.30 m → N 41.343824°
E  4.279175°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
N 41.341762°
E  4.276428°		 ← 229.31 m →
52 578 m²		 N 41.341762°
E  4.279175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511882781982422 y=0.373661041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511882781982422 × 217)
    floor (0.511882781982422 × 131072)
    floor (67093.5)     		tx = 67093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373661041259766 × 217)
    floor (0.373661041259766 × 131072)
    floor (48976.5)     		ty = 48976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67093 / 48976 ti = "17/67093/48976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67093/48976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67093 ÷ 217
    67093 ÷ 131072     		x = 0.511878967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48976 ÷ 217
    48976 ÷ 131072     		y = 0.3736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511878967285156 × 2 - 1) × π
    0.0237579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07463775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3736572265625 × 2 - 1) × π
    0.252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.79383505770813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07463775} λ = 0.07463775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.79383505770813))-π/2
    2×atan(2.2118628028492)-π/2
    2×1.14619109554326-π/2
    2.29238219108652-1.57079632675     		φ = 0.72158586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07463775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.276428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72158586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.343824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67093 KachelY 48976 0.07463775 0.72158586 4.276428 41.343824
    Oben rechts KachelX + 1 67094 KachelY 48976 0.07468569 0.72158586 4.279175 41.343824
    Unten links KachelX 67093 KachelY + 1 48977 0.07463775 0.72154987 4.276428 41.341762
    Unten rechts KachelX + 1 67094 KachelY + 1 48977 0.07468569 0.72154987 4.279175 41.341762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72158586-0.72154987) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72158586-0.72154987) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07463775-0.07468569) × cos(0.72158586) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.750759092425873 × 6371000     		do = 229.301151365883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07463775-0.07468569) × cos(0.72154987) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.750782866073519 × 6371000     		du = 229.308412449808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72158586)-sin(0.72154987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750759092425873-0.750782866073519)×R²
    abs(0.07468569-0.07463775)×2.37736476461636e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37736476461636e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37736476461636e-05×40589641000000     		ar = 52577.818557218m²