Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67092 / 48980
↖ ↑ ↗
← N 41.335576°
E  4.273682°		 ← 229.28 m → N 41.335576°
E  4.276428°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
N 41.333513°
E  4.273682°		 ← 229.29 m →
52 588 m²		 N 41.333513°
E  4.276428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511875152587891 y=0.373691558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511875152587891 × 217)
    floor (0.511875152587891 × 131072)
    floor (67092.5)     		tx = 67092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373691558837891 × 217)
    floor (0.373691558837891 × 131072)
    floor (48980.5)     		ty = 48980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67092 / 48980 ti = "17/67092/48980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67092/48980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67092 ÷ 217
    67092 ÷ 131072     		x = 0.511871337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48980 ÷ 217
    48980 ÷ 131072     		y = 0.373687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511871337890625 × 2 - 1) × π
    0.02374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07458982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373687744140625 × 2 - 1) × π
    0.25262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.79364331010965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07458982} λ = 0.07458982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.79364331010965))-π/2
    2×atan(2.21143872412793)-π/2
    2×1.14611911285857-π/2
    2.29223822571714-1.57079632675     		φ = 0.72144190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07458982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.273682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72144190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.335576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67092 KachelY 48980 0.07458982 0.72144190 4.273682 41.335576
    Oben rechts KachelX + 1 67093 KachelY 48980 0.07463775 0.72144190 4.276428 41.335576
    Unten links KachelX 67092 KachelY + 1 48981 0.07458982 0.72140590 4.273682 41.333513
    Unten rechts KachelX + 1 67093 KachelY + 1 48981 0.07463775 0.72140590 4.276428 41.333513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72144190-0.72140590) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dl = 229.355999999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72144190-0.72140590) × R
    3.5999999999925e-05 × 6371000     		dr = 229.355999999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07458982-0.07463775) × cos(0.72144190) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.75085418118149 × 6371000     		do = 229.282356999575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07458982-0.07463775) × cos(0.72140590) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.750877957543465 × 6371000     		du = 229.289617397734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72144190)-sin(0.72140590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75085418118149-0.750877957543465)×R²
    abs(0.07463775-0.07458982)×2.37763619748144e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37763619748144e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37763619748144e-05×40589641000000     		ar = 52588.1168854656m²