Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67092 / 48975
↖ ↑ ↗
← N 41.345886°
E  4.273682°		 ← 229.25 m → N 41.345886°
E  4.276428°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
N 41.343824°
E  4.273682°		 ← 229.25 m →
52 565 m²		 N 41.343824°
E  4.276428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511875152587891 y=0.373653411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511875152587891 × 217)
    floor (0.511875152587891 × 131072)
    floor (67092.5)     		tx = 67092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373653411865234 × 217)
    floor (0.373653411865234 × 131072)
    floor (48975.5)     		ty = 48975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67092 / 48975 ti = "17/67092/48975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67092/48975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67092 ÷ 217
    67092 ÷ 131072     		x = 0.511871337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48975 ÷ 217
    48975 ÷ 131072     		y = 0.373649597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511871337890625 × 2 - 1) × π
    0.02374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07458982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373649597167969 × 2 - 1) × π
    0.252700805664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.79388299460775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07458982} λ = 0.07458982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.79388299460775))-π/2
    2×atan(2.21196883523577)-π/2
    2×1.14620908978991-π/2
    2.29241817957982-1.57079632675     		φ = 0.72162185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07458982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.273682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72162185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.345886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67092 KachelY 48975 0.07458982 0.72162185 4.273682 41.345886
    Oben rechts KachelX + 1 67093 KachelY 48975 0.07463775 0.72162185 4.276428 41.345886
    Unten links KachelX 67092 KachelY + 1 48976 0.07458982 0.72158586 4.273682 41.343824
    Unten rechts KachelX + 1 67093 KachelY + 1 48976 0.07463775 0.72158586 4.276428 41.343824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72162185-0.72158586) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72162185-0.72158586) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07458982-0.07463775) × cos(0.72162185) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.750735317805783 × 6371000     		do = 229.246060637877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07458982-0.07463775) × cos(0.72158586) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.750759092425873 × 6371000     		du = 229.25332050413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72162185)-sin(0.72158586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750735317805783-0.750759092425873)×R²
    abs(0.07463775-0.07458982)×2.37746200895117e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37746200895117e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37746200895117e-05×40589641000000     		ar = 52565.1865385642m²