Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6709 / 2622
↖ ↑ ↗
← N 54.213861°
E114.829102°		 ← 2 857.43 m → N 54.213861°
E114.873047°		 →
↑
2 858.29 m
↓
↑
2 858.29 m
↓
N 54.188156°
E114.829102°		 ← 2 859.21 m →
8 169 900 m²		 N 54.188156°
E114.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81903076171875 y=0.32012939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81903076171875 × 213)
    floor (0.81903076171875 × 8192)
    floor (6709.5)     		tx = 6709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32012939453125 × 213)
    floor (0.32012939453125 × 8192)
    floor (2622.5)     		ty = 2622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6709 / 2622 ti = "13/6709/2622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6709/2622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6709 ÷ 213
    6709 ÷ 8192     		x = 0.8189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2622 ÷ 213
    2622 ÷ 8192     		y = 0.320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8189697265625 × 2 - 1) × π
    0.637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.00414590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320068359375 × 2 - 1) × π
    0.35986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1305438406394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00414590} λ = 2.00414590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1305438406394))-π/2
    2×atan(3.09734050180789)-π/2
    2×1.2585033507279-π/2
    2.5170067014558-1.57079632675     		φ = 0.94621037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00414590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.829102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94621037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.213861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6709 KachelY 2622 2.00414590 0.94621037 114.829102 54.213861
    Oben rechts KachelX + 1 6710 KachelY 2622 2.00491289 0.94621037 114.873047 54.213861
    Unten links KachelX 6709 KachelY + 1 2623 2.00414590 0.94576173 114.829102 54.188156
    Unten rechts KachelX + 1 6710 KachelY + 1 2623 2.00491289 0.94576173 114.873047 54.188156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94621037-0.94576173) × R
    0.00044864 × 6371000     		dl = 2858.28544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94621037-0.94576173) × R
    0.00044864 × 6371000     		dr = 2858.28544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00414590-2.00491289) × cos(0.94621037) × R
    0.000766989999999801 × 0.584761449028704 × 6371000     		do = 2857.4328969287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00414590-2.00491289) × cos(0.94576173) × R
    0.000766989999999801 × 0.585125329315008 × 6371000     		du = 2859.21099550609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94621037)-sin(0.94576173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584761449028704-0.585125329315008)×R²
    abs(2.00491289-2.00414590)×0.000363880286304297×R²
    0.000766989999999801×0.000363880286304297×6371000²
    0.000766989999999801×0.000363880286304297×40589641000000     		ar = 8169900.1387414m²