Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67089 / 48977
↖ ↑ ↗
← N 41.341762°
E  4.265442°		 ← 229.26 m → N 41.341762°
E  4.268188°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
N 41.339700°
E  4.265442°		 ← 229.27 m →
52 569 m²		 N 41.339700°
E  4.268188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511852264404297 y=0.373668670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511852264404297 × 217)
    floor (0.511852264404297 × 131072)
    floor (67089.5)     		tx = 67089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373668670654297 × 217)
    floor (0.373668670654297 × 131072)
    floor (48977.5)     		ty = 48977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67089 / 48977 ti = "17/67089/48977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67089/48977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67089 ÷ 217
    67089 ÷ 131072     		x = 0.511848449707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48977 ÷ 217
    48977 ÷ 131072     		y = 0.373664855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511848449707031 × 2 - 1) × π
    0.0236968994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07444601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373664855957031 × 2 - 1) × π
    0.252670288085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.79378712080851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07444601} λ = 0.07444601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.79378712080851))-π/2
    2×atan(2.21175677554538)-π/2
    2×1.14617310072679-π/2
    2.29234620145359-1.57079632675     		φ = 0.72154987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07444601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.265442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72154987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.341762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67089 KachelY 48977 0.07444601 0.72154987 4.265442 41.341762
    Oben rechts KachelX + 1 67090 KachelY 48977 0.07449394 0.72154987 4.268188 41.341762
    Unten links KachelX 67089 KachelY + 1 48978 0.07444601 0.72151388 4.265442 41.339700
    Unten rechts KachelX + 1 67090 KachelY + 1 48978 0.07449394 0.72151388 4.268188 41.339700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72154987-0.72151388) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72154987-0.72151388) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07444601-0.07449394) × cos(0.72154987) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.750782866073519 × 6371000     		do = 229.260580073369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07444601-0.07449394) × cos(0.72151388) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.750806638748691 × 6371000     		du = 229.267839345718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72154987)-sin(0.72151388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750782866073519-0.750806638748691)×R²
    abs(0.07449394-0.07444601)×2.37726751721734e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.37726751721734e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.37726751721734e-05×40589641000000     		ar = 52568.5156648788m²