Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67080 / 69737
↖ ↑ ↗
← S 11.461182°
E  4.240722°		 ← 299.34 m → S 11.461182°
E  4.243469°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
S 11.463874°
E  4.240722°		 ← 299.33 m →
89 594 m²		 S 11.463874°
E  4.243469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511783599853516 y=0.532054901123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511783599853516 × 217)
    floor (0.511783599853516 × 131072)
    floor (67080.5)     		tx = 67080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532054901123047 × 217)
    floor (0.532054901123047 × 131072)
    floor (69737.5)     		ty = 69737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67080 / 69737 ti = "17/67080/69737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67080/69737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67080 ÷ 217
    67080 ÷ 131072     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69737 ÷ 217
    69737 ÷ 131072     		y = 0.532051086425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532051086425781 × 2 - 1) × π
    -0.0641021728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.201382915303856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.201382915303856))-π/2
    2×atan(0.8175993003218)-π/2
    2×0.685380477308702-π/2
    1.3707609546174-1.57079632675     		φ = -0.20003537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20003537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.461182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67080 KachelY 69737 0.07401457 -0.20003537 4.240722 -11.461182
    Oben rechts KachelX + 1 67081 KachelY 69737 0.07406251 -0.20003537 4.243469 -11.461182
    Unten links KachelX 67080 KachelY + 1 69738 0.07401457 -0.20008235 4.240722 -11.463874
    Unten rechts KachelX + 1 67081 KachelY + 1 69738 0.07406251 -0.20008235 4.243469 -11.463874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20003537--0.20008235) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20003537--0.20008235) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07406251) × cos(-0.20003537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980059550293963 × 6371000     		do = 299.335413392578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07406251) × cos(-0.20008235) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980050214098697 × 6371000     		du = 299.33256187823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20003537)-sin(-0.20008235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980059550293963-0.980050214098697)×R²
    abs(0.07406251-0.07401457)×9.33619526577445e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.33619526577445e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.33619526577445e-06×40589641000000     		ar = 89593.5301353419m²