Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67077 / 69717
↖ ↑ ↗
← S 11.407341°
E  4.232483°		 ← 299.39 m → S 11.407341°
E  4.235230°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
S 11.410033°
E  4.232483°		 ← 299.39 m →
89 630 m²		 S 11.410033°
E  4.235230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511760711669922 y=0.531902313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511760711669922 × 217)
    floor (0.511760711669922 × 131072)
    floor (67077.5)     		tx = 67077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531902313232422 × 217)
    floor (0.531902313232422 × 131072)
    floor (69717.5)     		ty = 69717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67077 / 69717 ti = "17/67077/69717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67077/69717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67077 ÷ 217
    67077 ÷ 131072     		x = 0.511756896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69717 ÷ 217
    69717 ÷ 131072     		y = 0.531898498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511756896972656 × 2 - 1) × π
    0.0235137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07387076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531898498535156 × 2 - 1) × π
    -0.0637969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.200424177311455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07387076} λ = 0.07387076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200424177311455))-π/2
    2×atan(0.818383539713558)-π/2
    2×0.685850332155639-π/2
    1.37170066431128-1.57079632675     		φ = -0.19909566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07387076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.232483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19909566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.407341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67077 KachelY 69717 0.07387076 -0.19909566 4.232483 -11.407341
    Oben rechts KachelX + 1 67078 KachelY 69717 0.07391870 -0.19909566 4.235230 -11.407341
    Unten links KachelX 67077 KachelY + 1 69718 0.07387076 -0.19914265 4.232483 -11.410033
    Unten rechts KachelX + 1 67078 KachelY + 1 69718 0.07391870 -0.19914265 4.235230 -11.410033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19909566--0.19914265) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19909566--0.19914265) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07387076-0.07391870) × cos(-0.19909566) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.980245841675057 × 6371000     		do = 299.392311575591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07387076-0.07391870) × cos(-0.19914265) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.980236546772664 × 6371000     		du = 299.389472673149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19909566)-sin(-0.19914265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980245841675057-0.980236546772664)×R²
    abs(0.07391870-0.07387076)×9.29490239265363e-06×R²
    4.79400000000102e-05×9.29490239265363e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×9.29490239265363e-06×40589641000000     		ar = 89629.6363877913m²