Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6707 / 6277
↖ ↑ ↗
← S 68.736384°
E114.741211°		 ← 1 772.13 m → S 68.736384°
E114.785156°		 →
↑
1 771.46 m
↓
↑
1 771.46 m
↓
S 68.752315°
E114.741211°		 ← 1 770.87 m →
3 138 136 m²		 S 68.752315°
E114.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81878662109375 y=0.76629638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81878662109375 × 213)
    floor (0.81878662109375 × 8192)
    floor (6707.5)     		tx = 6707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76629638671875 × 213)
    floor (0.76629638671875 × 8192)
    floor (6277.5)     		ty = 6277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6707 / 6277 ti = "13/6707/6277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6707/6277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6707 ÷ 213
    6707 ÷ 8192     		x = 0.8187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6277 ÷ 213
    6277 ÷ 8192     		y = 0.7662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8187255859375 × 2 - 1) × π
    0.637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00261192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.532470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67280604914148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00261192} λ = 2.00261192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67280604914148))-π/2
    2×atan(0.187719575549499)-π/2
    2×0.18556005982313-π/2
    0.37112011964626-1.57079632675     		φ = -1.19967621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00261192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19967621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.736384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6707 KachelY 6277 2.00261192 -1.19967621 114.741211 -68.736384
    Oben rechts KachelX + 1 6708 KachelY 6277 2.00337891 -1.19967621 114.785156 -68.736384
    Unten links KachelX 6707 KachelY + 1 6278 2.00261192 -1.19995426 114.741211 -68.752315
    Unten rechts KachelX + 1 6708 KachelY + 1 6278 2.00337891 -1.19995426 114.785156 -68.752315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19967621--1.19995426) × R
    0.000278049999999919 × 6371000     		dl = 1771.45654999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19967621--1.19995426) × R
    0.000278049999999919 × 6371000     		dr = 1771.45654999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00261192-2.00337891) × cos(-1.19967621) × R
    0.000766989999999801 × 0.362659520412259 × 6371000     		do = 1772.13331304866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00261192-2.00337891) × cos(-1.19995426) × R
    0.000766989999999801 × 0.362400385565398 × 6371000     		du = 1770.86705235827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19967621)-sin(-1.19995426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362659520412259-0.362400385565398)×R²
    abs(2.00337891-2.00261192)×0.000259134846860964×R²
    0.000766989999999801×0.000259134846860964×6371000²
    0.000766989999999801×0.000259134846860964×40589641000000     		ar = 3138135.62219444m²