Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6707 / 2710
↖ ↑ ↗
← N 51.890054°
E114.741211°		 ← 3 015.81 m → N 51.890054°
E114.785156°		 →
↑
3 016.73 m
↓
↑
3 016.73 m
↓
N 51.862924°
E114.741211°		 ← 3 017.63 m →
9 100 634 m²		 N 51.862924°
E114.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81878662109375 y=0.33087158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81878662109375 × 213)
    floor (0.81878662109375 × 8192)
    floor (6707.5)     		tx = 6707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33087158203125 × 213)
    floor (0.33087158203125 × 8192)
    floor (2710.5)     		ty = 2710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6707 / 2710 ti = "13/6707/2710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6707/2710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6707 ÷ 213
    6707 ÷ 8192     		x = 0.8187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2710 ÷ 213
    2710 ÷ 8192     		y = 0.330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8187255859375 × 2 - 1) × π
    0.637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00261192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330810546875 × 2 - 1) × π
    0.33837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06304868597437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00261192} λ = 2.00261192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06304868597437))-π/2
    2×atan(2.89518405532912)-π/2
    2×1.23822430849156-π/2
    2.47644861698312-1.57079632675     		φ = 0.90565229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00261192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90565229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.890054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6707 KachelY 2710 2.00261192 0.90565229 114.741211 51.890054
    Oben rechts KachelX + 1 6708 KachelY 2710 2.00337891 0.90565229 114.785156 51.890054
    Unten links KachelX 6707 KachelY + 1 2711 2.00261192 0.90517878 114.741211 51.862924
    Unten rechts KachelX + 1 6708 KachelY + 1 2711 2.00337891 0.90517878 114.785156 51.862924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90565229-0.90517878) × R
    0.000473510000000066 × 6371000     		dl = 3016.73221000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90565229-0.90517878) × R
    0.000473510000000066 × 6371000     		dr = 3016.73221000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00261192-2.00337891) × cos(0.90565229) × R
    0.000766989999999801 × 0.617172471298336 × 6371000     		do = 3015.80913977125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00261192-2.00337891) × cos(0.90517878) × R
    0.000766989999999801 × 0.617544972973626 × 6371000     		du = 3017.62936670807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90565229)-sin(0.90517878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617172471298336-0.617544972973626)×R²
    abs(2.00337891-2.00261192)×0.000372501675289905×R²
    0.000766989999999801×0.000372501675289905×6371000²
    0.000766989999999801×0.000372501675289905×40589641000000     		ar = 9100634.30981429m²