Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6706 / 1899
↖ ↑ ↗
← N 79.769463°
W 32.651367°		 ← 433.94 m → N 79.769463°
W 32.629395°		 →
↑
434.06 m
↓
↑
434.06 m
↓
N 79.765560°
W 32.651367°		 ← 434.10 m →
188 389 m²		 N 79.765560°
W 32.629395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409332275390625 y=0.115936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409332275390625 × 214)
    floor (0.409332275390625 × 16384)
    floor (6706.5)     		tx = 6706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115936279296875 × 214)
    floor (0.115936279296875 × 16384)
    floor (1899.5)     		ty = 1899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6706 / 1899 ti = "14/6706/1899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6706/1899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6706 ÷ 214
    6706 ÷ 16384     		x = 0.4093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1899 ÷ 214
    1899 ÷ 16384     		y = 0.11590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56987386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11590576171875 × 2 - 1) × π
    0.7681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41333527447211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56987386} λ = -0.56987386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41333527447211))-π/2
    2×atan(11.1711579577542)-π/2
    2×1.48151805136876-π/2
    2.96303610273751-1.57079632675     		φ = 1.39223978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56987386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.651367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39223978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.769463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6706 KachelY 1899 -0.56987386 1.39223978 -32.651367 79.769463
    Oben rechts KachelX + 1 6707 KachelY 1899 -0.56949037 1.39223978 -32.629395 79.769463
    Unten links KachelX 6706 KachelY + 1 1900 -0.56987386 1.39217165 -32.651367 79.765560
    Unten rechts KachelX + 1 6707 KachelY + 1 1900 -0.56949037 1.39217165 -32.629395 79.765560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39223978-1.39217165) × R
    6.8129999999833e-05 × 6371000     		dl = 434.056229998936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39223978-1.39217165) × R
    6.8129999999833e-05 × 6371000     		dr = 434.056229998936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56987386--0.56949037) × cos(1.39223978) × R
    0.000383489999999931 × 0.177609255078161 × 6371000     		do = 433.937558847767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56987386--0.56949037) × cos(1.39217165) × R
    0.000383489999999931 × 0.177676301473069 × 6371000     		du = 434.101367591422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39223978)-sin(1.39217165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177609255078161-0.177676301473069)×R²
    abs(-0.56949037--0.56987386)×6.70463949075939e-05×R²
    0.000383489999999931×6.70463949075939e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.70463949075939e-05×40589641000000     		ar = 188388.852023576m²