Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67057 / 48913
↖ ↑ ↗
← N 41.473602°
E  4.177551°		 ← 228.84 m → N 41.473602°
E  4.180298°		 →
↑
228.78 m
↓
↑
228.78 m
↓
N 41.471545°
E  4.177551°		 ← 228.85 m →
52 356 m²		 N 41.471545°
E  4.180298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511608123779297 y=0.373180389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511608123779297 × 217)
    floor (0.511608123779297 × 131072)
    floor (67057.5)     		tx = 67057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373180389404297 × 217)
    floor (0.373180389404297 × 131072)
    floor (48913.5)     		ty = 48913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67057 / 48913 ti = "17/67057/48913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67057/48913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67057 ÷ 217
    67057 ÷ 131072     		x = 0.511604309082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48913 ÷ 217
    48913 ÷ 131072     		y = 0.373176574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511604309082031 × 2 - 1) × π
    0.0232086181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07291202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373176574707031 × 2 - 1) × π
    0.253646850585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.796855082384193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07291202} λ = 0.07291202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.796855082384193))-π/2
    2×atan(2.21855277995716)-π/2
    2×1.14732362001766-π/2
    2.29464724003531-1.57079632675     		φ = 0.72385091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07291202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.177551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72385091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.473602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67057 KachelY 48913 0.07291202 0.72385091 4.177551 41.473602
    Oben rechts KachelX + 1 67058 KachelY 48913 0.07295996 0.72385091 4.180298 41.473602
    Unten links KachelX 67057 KachelY + 1 48914 0.07291202 0.72381500 4.177551 41.471545
    Unten rechts KachelX + 1 67058 KachelY + 1 48914 0.07295996 0.72381500 4.180298 41.471545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72385091-0.72381500) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dl = 228.782610000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72385091-0.72381500) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dr = 228.782610000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07291202-0.07295996) × cos(0.72385091) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.749260929942089 × 6371000     		do = 228.843573980699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07291202-0.07295996) × cos(0.72381500) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.749284711751072 × 6371000     		du = 228.850837557307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72385091)-sin(0.72381500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749260929942089-0.749284711751072)×R²
    abs(0.07295996-0.07291202)×2.37818089828812e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37818089828812e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37818089828812e-05×40589641000000     		ar = 52356.2610327527m²