Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67057 / 48911
↖ ↑ ↗
← N 41.477718°
E  4.177551°		 ← 228.83 m → N 41.477718°
E  4.180298°		 →
↑
228.85 m
↓
↑
228.85 m
↓
N 41.475660°
E  4.177551°		 ← 228.84 m →
52 368 m²		 N 41.475660°
E  4.180298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511608123779297 y=0.373165130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511608123779297 × 217)
    floor (0.511608123779297 × 131072)
    floor (67057.5)     		tx = 67057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373165130615234 × 217)
    floor (0.373165130615234 × 131072)
    floor (48911.5)     		ty = 48911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67057 / 48911 ti = "17/67057/48911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67057/48911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67057 ÷ 217
    67057 ÷ 131072     		x = 0.511604309082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48911 ÷ 217
    48911 ÷ 131072     		y = 0.373161315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511604309082031 × 2 - 1) × π
    0.0232086181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07291202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373161315917969 × 2 - 1) × π
    0.253677368164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.796950956183434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07291202} λ = 0.07291202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.796950956183434))-π/2
    2×atan(2.21876549123755)-π/2
    2×1.14735953612326-π/2
    2.29471907224651-1.57079632675     		φ = 0.72392275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07291202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.177551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72392275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.477718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67057 KachelY 48911 0.07291202 0.72392275 4.177551 41.477718
    Oben rechts KachelX + 1 67058 KachelY 48911 0.07295996 0.72392275 4.180298 41.477718
    Unten links KachelX 67057 KachelY + 1 48912 0.07291202 0.72388683 4.177551 41.475660
    Unten rechts KachelX + 1 67058 KachelY + 1 48912 0.07295996 0.72388683 4.180298 41.475660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72392275-0.72388683) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dl = 228.84631999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72392275-0.72388683) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dr = 228.84631999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07291202-0.07295996) × cos(0.72392275) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.749213350179001 × 6371000     		do = 228.829041896349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07291202-0.07295996) × cos(0.72388683) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.749237140543895 × 6371000     		du = 228.836308086152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72392275)-sin(0.72388683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749213350179001-0.749237140543895)×R²
    abs(0.07295996-0.07291202)×2.3790364894527e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.3790364894527e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.3790364894527e-05×40589641000000     		ar = 52367.5155731708m²