Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67055 / 48908
↖ ↑ ↗
← N 41.483891°
E  4.172058°		 ← 228.81 m → N 41.483891°
E  4.174805°		 →
↑
228.85 m
↓
↑
228.85 m
↓
N 41.481833°
E  4.172058°		 ← 228.81 m →
52 363 m²		 N 41.481833°
E  4.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511592864990234 y=0.373142242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511592864990234 × 217)
    floor (0.511592864990234 × 131072)
    floor (67055.5)     		tx = 67055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373142242431641 × 217)
    floor (0.373142242431641 × 131072)
    floor (48908.5)     		ty = 48908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67055 / 48908 ti = "17/67055/48908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67055/48908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67055 ÷ 217
    67055 ÷ 131072     		x = 0.511589050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48908 ÷ 217
    48908 ÷ 131072     		y = 0.373138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511589050292969 × 2 - 1) × π
    0.0231781005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07281615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373138427734375 × 2 - 1) × π
    0.25372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.797094766882294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07281615} λ = 0.07281615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797094766882294))-π/2
    2×atan(2.21908459639827)-π/2
    2×1.14741340600552-π/2
    2.29482681201103-1.57079632675     		φ = 0.72403049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07281615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.172058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72403049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.483891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67055 KachelY 48908 0.07281615 0.72403049 4.172058 41.483891
    Oben rechts KachelX + 1 67056 KachelY 48908 0.07286409 0.72403049 4.174805 41.483891
    Unten links KachelX 67055 KachelY + 1 48909 0.07281615 0.72399457 4.172058 41.481833
    Unten rechts KachelX + 1 67056 KachelY + 1 48909 0.07286409 0.72399457 4.174805 41.481833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72403049-0.72399457) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dl = 228.84631999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72403049-0.72399457) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dr = 228.84631999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07281615-0.07286409) × cos(0.72403049) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.74914198653261 × 6371000     		do = 228.807245601841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07281615-0.07286409) × cos(0.72399457) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.749165779796884 × 6371000     		du = 228.814512677189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72403049)-sin(0.72399457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74914198653261-0.749165779796884)×R²
    abs(0.07286409-0.07281615)×2.37932642738192e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37932642738192e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37932642738192e-05×40589641000000     		ar = 52362.5276727133m²