Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67053 / 48910
↖ ↑ ↗
← N 41.479776°
E  4.166565°		 ← 228.77 m → N 41.479776°
E  4.169311°		 →
↑
228.78 m
↓
↑
228.78 m
↓
N 41.477718°
E  4.166565°		 ← 228.78 m →
52 340 m²		 N 41.477718°
E  4.169311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511577606201172 y=0.373157501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511577606201172 × 217)
    floor (0.511577606201172 × 131072)
    floor (67053.5)     		tx = 67053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373157501220703 × 217)
    floor (0.373157501220703 × 131072)
    floor (48910.5)     		ty = 48910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67053 / 48910 ti = "17/67053/48910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67053/48910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67053 ÷ 217
    67053 ÷ 131072     		x = 0.511573791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48910 ÷ 217
    48910 ÷ 131072     		y = 0.373153686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511573791503906 × 2 - 1) × π
    0.0231475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07272028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373153686523438 × 2 - 1) × π
    0.253692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.796998893083054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07272028} λ = 0.07272028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.796998893083054))-π/2
    2×atan(2.21887185452552)-π/2
    2×1.14737749332083-π/2
    2.29475498664167-1.57079632675     		φ = 0.72395866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07272028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.166565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72395866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.479776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67053 KachelY 48910 0.07272028 0.72395866 4.166565 41.479776
    Oben rechts KachelX + 1 67054 KachelY 48910 0.07276821 0.72395866 4.169311 41.479776
    Unten links KachelX 67053 KachelY + 1 48911 0.07272028 0.72392275 4.166565 41.477718
    Unten rechts KachelX + 1 67054 KachelY + 1 48911 0.07276821 0.72392275 4.169311 41.477718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72395866-0.72392275) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dl = 228.782610000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72395866-0.72392275) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dr = 228.782610000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07272028-0.07276821) × cos(0.72395866) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.749189565470993 × 6371000     		do = 228.774046567048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07272028-0.07276821) × cos(0.72392275) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.749213350179001 × 6371000     		du = 228.781309513768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72395866)-sin(0.72392275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749189565470993-0.749213350179001)×R²
    abs(0.07276821-0.07272028)×2.37847080080122e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37847080080122e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37847080080122e-05×40589641000000     		ar = 52340.3542975551m²