Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66993 / 46609
↖ ↑ ↗
← N 46.040829°
E  4.001770°		 ← 212.01 m → N 46.040829°
E  4.004517°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
N 46.038922°
E  4.001770°		 ← 212.02 m →
44 953 m²		 N 46.038922°
E  4.004517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511119842529297 y=0.355602264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511119842529297 × 217)
    floor (0.511119842529297 × 131072)
    floor (66993.5)     		tx = 66993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355602264404297 × 217)
    floor (0.355602264404297 × 131072)
    floor (46609.5)     		ty = 46609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66993 / 46609 ti = "17/66993/46609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66993/46609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66993 ÷ 217
    66993 ÷ 131072     		x = 0.511116027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46609 ÷ 217
    46609 ÷ 131072     		y = 0.355598449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511116027832031 × 2 - 1) × π
    0.0222320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06984406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.355598449707031 × 2 - 1) × π
    0.288803100585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.907301699108803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06984406} λ = 0.06984406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.907301699108803))-π/2
    2×atan(2.47762811951216)-π/2
    2×1.18718019297426-π/2
    2.37436038594853-1.57079632675     		φ = 0.80356406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06984406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.001770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80356406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.040829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66993 KachelY 46609 0.06984406 0.80356406 4.001770 46.040829
    Oben rechts KachelX + 1 66994 KachelY 46609 0.06989200 0.80356406 4.004517 46.040829
    Unten links KachelX 66993 KachelY + 1 46610 0.06984406 0.80353078 4.001770 46.038922
    Unten rechts KachelX + 1 66994 KachelY + 1 46610 0.06989200 0.80353078 4.004517 46.038922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80356406-0.80353078) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80356406-0.80353078) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06984406-0.06989200) × cos(0.80356406) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.694145589648534 × 6371000     		do = 212.009930386124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06984406-0.06989200) × cos(0.80353078) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.694169545360747 × 6371000     		du = 212.017247077254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80356406)-sin(0.80353078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694145589648534-0.694169545360747)×R²
    abs(0.06989200-0.06984406)×2.39557122132528e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39557122132528e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39557122132528e-05×40589641000000     		ar = 44952.5797404798m²