Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66992 / 49002
↖ ↑ ↗
← N 41.290190°
E  3.999024°		 ← 229.44 m → N 41.290190°
E  4.001770°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
N 41.288126°
E  3.999024°		 ← 229.45 m →
52 654 m²		 N 41.288126°
E  4.001770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511112213134766 y=0.373859405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511112213134766 × 217)
    floor (0.511112213134766 × 131072)
    floor (66992.5)     		tx = 66992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373859405517578 × 217)
    floor (0.373859405517578 × 131072)
    floor (49002.5)     		ty = 49002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66992 / 49002 ti = "17/66992/49002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66992/49002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66992 ÷ 217
    66992 ÷ 131072     		x = 0.5111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49002 ÷ 217
    49002 ÷ 131072     		y = 0.373855590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5111083984375 × 2 - 1) × π
    0.022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06979613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373855590820312 × 2 - 1) × π
    0.252288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.792588698318008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06979613} λ = 0.06979613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792588698318008))-π/2
    2×atan(2.20910774412851)-π/2
    2×1.14572304514099-π/2
    2.29144609028197-1.57079632675     		φ = 0.72064976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06979613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.999024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72064976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.290190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66992 KachelY 49002 0.06979613 0.72064976 3.999024 41.290190
    Oben rechts KachelX + 1 66993 KachelY 49002 0.06984406 0.72064976 4.001770 41.290190
    Unten links KachelX 66992 KachelY + 1 49003 0.06979613 0.72061374 3.999024 41.288126
    Unten rechts KachelX + 1 66993 KachelY + 1 49003 0.06984406 0.72061374 4.001770 41.288126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72064976-0.72061374) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72064976-0.72061374) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06979613-0.06984406) × cos(0.72064976) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.751377128684887 × 6371000     		do = 229.442045310796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06979613-0.06984406) × cos(0.72061374) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.751400896823846 × 6371000     		du = 229.449303197958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72064976)-sin(0.72061374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751377128684887-0.751400896823846)×R²
    abs(0.06984406-0.06979613)×2.37681389592126e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37681389592126e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37681389592126e-05×40589641000000     		ar = 52653.978037851m²