Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66991 / 48997
↖ ↑ ↗
← N 41.300508°
E  3.996277°		 ← 229.45 m → N 41.300508°
E  3.999024°		 →
↑
229.42 m
↓
↑
229.42 m
↓
N 41.298444°
E  3.996277°		 ← 229.46 m →
52 642 m²		 N 41.298444°
E  3.999024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511104583740234 y=0.373821258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511104583740234 × 217)
    floor (0.511104583740234 × 131072)
    floor (66991.5)     		tx = 66991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373821258544922 × 217)
    floor (0.373821258544922 × 131072)
    floor (48997.5)     		ty = 48997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66991 / 48997 ti = "17/66991/48997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66991/48997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66991 ÷ 217
    66991 ÷ 131072     		x = 0.511100769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48997 ÷ 217
    48997 ÷ 131072     		y = 0.373817443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511100769042969 × 2 - 1) × π
    0.0222015380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06974819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373817443847656 × 2 - 1) × π
    0.252365112304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.792828382816109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06974819} λ = 0.06974819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792828382816109))-π/2
    2×atan(2.20963729646962)-π/2
    2×1.14581308474463-π/2
    2.29162616948926-1.57079632675     		φ = 0.72082984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06974819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.996277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72082984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.300508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66991 KachelY 48997 0.06974819 0.72082984 3.996277 41.300508
    Oben rechts KachelX + 1 66992 KachelY 48997 0.06979613 0.72082984 3.999024 41.300508
    Unten links KachelX 66991 KachelY + 1 48998 0.06974819 0.72079383 3.996277 41.298444
    Unten rechts KachelX + 1 66992 KachelY + 1 48998 0.06979613 0.72079383 3.999024 41.298444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72082984-0.72079383) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dl = 229.41971000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72082984-0.72079383) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dr = 229.41971000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06974819-0.06979613) × cos(0.72082984) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751258286567869 × 6371000     		do = 229.453618106106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06974819-0.06979613) × cos(0.72079383) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751282052980501 × 6371000     		du = 229.460876980271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72082984)-sin(0.72079383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751258286567869-0.751282052980501)×R²
    abs(0.06979613-0.06974819)×2.37664126320203e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37664126320203e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37664126320203e-05×40589641000000     		ar = 52642.0151946103m²