Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66989 / 48996
↖ ↑ ↗
← N 41.302571°
E  3.990784°		 ← 229.40 m → N 41.302571°
E  3.993530°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
N 41.300508°
E  3.990784°		 ← 229.41 m →
52 644 m²		 N 41.300508°
E  3.993530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511089324951172 y=0.373813629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511089324951172 × 217)
    floor (0.511089324951172 × 131072)
    floor (66989.5)     		tx = 66989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373813629150391 × 217)
    floor (0.373813629150391 × 131072)
    floor (48996.5)     		ty = 48996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66989 / 48996 ti = "17/66989/48996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66989/48996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66989 ÷ 217
    66989 ÷ 131072     		x = 0.511085510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48996 ÷ 217
    48996 ÷ 131072     		y = 0.373809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511085510253906 × 2 - 1) × π
    0.0221710205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06965232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373809814453125 × 2 - 1) × π
    0.25238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.792876319715729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06965232} λ = 0.06965232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792876319715729))-π/2
    2×atan(2.20974322216975)-π/2
    2×1.14583109095627-π/2
    2.29166218191254-1.57079632675     		φ = 0.72086586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06965232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.990784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72086586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.302571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66989 KachelY 48996 0.06965232 0.72086586 3.990784 41.302571
    Oben rechts KachelX + 1 66990 KachelY 48996 0.06970025 0.72086586 3.993530 41.302571
    Unten links KachelX 66989 KachelY + 1 48997 0.06965232 0.72082984 3.990784 41.300508
    Unten rechts KachelX + 1 66990 KachelY + 1 48997 0.06970025 0.72082984 3.993530 41.300508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72086586-0.72082984) × R
    3.60199999999145e-05 × 6371000     		dl = 229.483419999455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72086586-0.72082984) × R
    3.60199999999145e-05 × 6371000     		dr = 229.483419999455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06965232-0.06970025) × cos(0.72086586) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.751234512580712 × 6371000     		do = 229.398495767714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06965232-0.06970025) × cos(0.72082984) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.751258286567869 × 6371000     		du = 229.405755440694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72086586)-sin(0.72082984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751234512580712-0.751258286567869)×R²
    abs(0.06970025-0.06965232)×2.37739871575826e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37739871575826e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37739871575826e-05×40589641000000     		ar = 52643.9843444054m²