Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66988 / 48999
↖ ↑ ↗
← N 41.296381°
E  3.988037°		 ← 229.47 m → N 41.296381°
E  3.990784°		 →
↑
229.42 m
↓
↑
229.42 m
↓
N 41.294317°
E  3.988037°		 ← 229.48 m →
52 645 m²		 N 41.294317°
E  3.990784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511081695556641 y=0.373836517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511081695556641 × 217)
    floor (0.511081695556641 × 131072)
    floor (66988.5)     		tx = 66988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373836517333984 × 217)
    floor (0.373836517333984 × 131072)
    floor (48999.5)     		ty = 48999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66988 / 48999 ti = "17/66988/48999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66988/48999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66988 ÷ 217
    66988 ÷ 131072     		x = 0.511077880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48999 ÷ 217
    48999 ÷ 131072     		y = 0.373832702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511077880859375 × 2 - 1) × π
    0.02215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06960438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373832702636719 × 2 - 1) × π
    0.252334594726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.792732509016869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06960438} λ = 0.06960438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792732509016869))-π/2
    2×atan(2.209425460302)-π/2
    2×1.14577707061224-π/2
    2.29155414122449-1.57079632675     		φ = 0.72075781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06960438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.988037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72075781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.296381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66988 KachelY 48999 0.06960438 0.72075781 3.988037 41.296381
    Oben rechts KachelX + 1 66989 KachelY 48999 0.06965232 0.72075781 3.990784 41.296381
    Unten links KachelX 66988 KachelY + 1 49000 0.06960438 0.72072180 3.988037 41.294317
    Unten rechts KachelX + 1 66989 KachelY + 1 49000 0.06965232 0.72072180 3.990784 41.294317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72075781-0.72072180) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dl = 229.41971000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72075781-0.72072180) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dr = 229.41971000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06960438-0.06965232) × cos(0.72075781) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.751305825018473 × 6371000     		do = 229.468137572626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06960438-0.06965232) × cos(0.72072180) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.751329589482399 × 6371000     		du = 229.475395851607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72075781)-sin(0.72072180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751305825018473-0.751329589482399)×R²
    abs(0.06965232-0.06960438)×2.37644639257129e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37644639257129e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37644639257129e-05×40589641000000     		ar = 52645.3461782348m²