Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66987 / 48998
↖ ↑ ↗
← N 41.298444°
E  3.985290°		 ← 229.46 m → N 41.298444°
E  3.988037°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
N 41.296381°
E  3.985290°		 ← 229.47 m →
52 658 m²		 N 41.296381°
E  3.988037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511074066162109 y=0.373828887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511074066162109 × 217)
    floor (0.511074066162109 × 131072)
    floor (66987.5)     		tx = 66987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373828887939453 × 217)
    floor (0.373828887939453 × 131072)
    floor (48998.5)     		ty = 48998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66987 / 48998 ti = "17/66987/48998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66987/48998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66987 ÷ 217
    66987 ÷ 131072     		x = 0.511070251464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48998 ÷ 217
    48998 ÷ 131072     		y = 0.373825073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511070251464844 × 2 - 1) × π
    0.0221405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06955644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373825073242188 × 2 - 1) × π
    0.252349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.792780445916489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06955644} λ = 0.06955644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792780445916489))-π/2
    2×atan(2.20953137584712)-π/2
    2×1.14579507796329-π/2
    2.29159015592657-1.57079632675     		φ = 0.72079383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06955644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.985290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72079383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.298444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66987 KachelY 48998 0.06955644 0.72079383 3.985290 41.298444
    Oben rechts KachelX + 1 66988 KachelY 48998 0.06960438 0.72079383 3.988037 41.298444
    Unten links KachelX 66987 KachelY + 1 48999 0.06955644 0.72075781 3.985290 41.296381
    Unten rechts KachelX + 1 66988 KachelY + 1 48999 0.06960438 0.72075781 3.988037 41.296381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72079383-0.72075781) × R
    3.60199999999145e-05 × 6371000     		dl = 229.483419999455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72079383-0.72075781) × R
    3.60199999999145e-05 × 6371000     		dr = 229.483419999455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06955644-0.06960438) × cos(0.72079383) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751282052980501 × 6371000     		do = 229.460876980271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06955644-0.06960438) × cos(0.72075781) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751305825018473 × 6371000     		du = 229.46813757256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72079383)-sin(0.72075781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751282052980501-0.751305825018473)×R²
    abs(0.06960438-0.06955644)×2.37720379716588e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37720379716588e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37720379716588e-05×40589641000000     		ar = 52658.2999039669m²